Question

如图，射线OA⊥射线OB，半径r＝2 cm的动圆M与OB相切于点Q(圆M与OA没有公共点)，P是OA上的动点，且PM＝3 cm，设OP＝x cm，OQ＝y cm．

(1)求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围．

(2)当△MOP为等腰三角形时，求相应的x的值．

(3)是否存在大于2的实数x，使△MQO∽△OMP？若存在，求相应x的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)过点M作MD⊥OA，垂足为D，显然ODMQ为矩形， 　　∴OD＝MQ＝2，MD＝OQ＝y，∴PD＝x－2．在Rt△MDP中，y2＋(x－2)2＝32， 　　∴x2－4x＋y2＝5．∴x取值范围为2＜x≤2　　(4分) 　　(2)若△MOP为等腰三角形，①若OM＝MP，此时x＝4； 　　②若MP＝OP时，x＝3；③若OM＝OP时，∵OM＝4＋y2，∴4＋y2＝x2，于是 　　解得x＝　　(8分) 　　(3)分三种情况依次讨论： 　　①假设两三角形相似，若∠OPM＝90°，则MP＝y，OP＝2＝x，得x＝2，不是大于2的实数，故∠OPM不可能是90°； 　　②若∠MOP＝90°，由于圆M在第一象限，所以这不可能． 　　③假设△QMO∽△MOP，此时∠OMP＝90°，则，∴＝＝． 　　得4＋y2＝2x，于是　得x＝1＋． 　　∴存在这样的实数x，并且x＝1＋　　(12分)