Question

如图14，抛物线y=a+c(c0)经过C（2,0）D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0,-2）且平行于X轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求证：AO=AM；

（3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时 的值；

②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数。

Answer 1

（1）y=x²-1

（2）证明：延长MA交X轴于点H，同时，设点A横坐标为t（t＜0），则A点坐标为（t，kt）和（t，t²-1），其中kt=t²-1

AM=kt-（-2）=kt+2 ；AH=-kt=t² ；OH=-t；

OA= ===1+=kt+2=AM

（3）①+=1

②设A点横坐标为a，B点横坐标为b，经分析a、b分别为方程kt=t²-1的两根，根据韦达定理得，a+b=4k，ab=-4

a点坐标是（a，ak），b点 坐标为（b，bk），AM=ak+2，BN=bk+2  

===

将a+b=4k，ab=-4代入，得   ===1