已知，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，试 判断线段BE与DG的数量关系，并说明理由．

（1）证明：∵，    

∴．    …………………………………………（2分）

∵，      …………………………………………（1分）

∴∽．……………………………………… （1分）

∴． ……………………………………………（1分）

       （2）   ∵，

又∵，

  ∴．………………………………………………（1分）

∴．       ………………………………………………（1分）

又∵，

∴四边形是平行四边形 ………………………………………（1分）

∵，

∴．       ……………………………………………（1分）

∵平分，

∴．            …………………………………………（1分）

∴．

∴．        ……………………………………………（1分）

∴四边形是菱形．   ……………………………………………………（1分）

如图，四边形中，，点在的延长线上，联结，交于点，联结DB ，，且.

(1) 求证：；

（2）当平分时，求证：四边形是菱形.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴DC=AB，DC∥AB ，∴∠C=∠EBH，∠CDE=∠H

又∵E是CB的中点，∴CE=BE

∴△CDE≌△BHE ，∴BH=DC

∴BH=AB

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠ADF=∠G

∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=AB，∠A=∠C

∵E、F分别是CB、AB的中点，∴AF=CE

∴△ADF≌△CDE ，∴∠CDE=∠ADF  ∴∠H=∠G

已知：平行四边形ABCD中，E、F 是BC、AB 的中点，DE、DF分别交AB 、CB的延长线于H、G；

（1）求证：BH =AB；

（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．

答案：（1）BD=CD……………1分

证△AEF≌△DEC

∴AF=CD

∵AF=BD

∴BD=CD……………5分

(2) 当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形………6分

∵AF//BD, AF=BD

∴四边形AFBD是平行四边形

   ∵AB=AC，BD=CD

∴∠ADB=90°

∴□AFBD是矩形………10分

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。

（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由。

解：（1）如图，与互相垂直平分．          （1分）

证明如下：连结、，

∵ //，

∴四边形是平行四边形．          （2分）

⊥，

∴⊥，

∵∠=90º，为的中点，

∴，                                          （2分）

∴四边形是菱形．                                        （1分）

∴与互相垂直平分．

解：（2）设，则，．         （2分）

在Rt△中，∵，                           （1分）

∴．                                         （1分）

                         （1分）

∴．                                                 （2分）

如图，中，，为的中点．

操作：过点做的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，在的延长线上截取，联结、．

（1）试判断与之间有怎样的关系，并证明你所得的结论；

（2）如果，，求的长．

（1）①120,84,24     （3分）   ②   （6分）

（2）①4,4    （8分）      

②2,1     （10分）

解释：只有当P，Q相遇于C点时图像分为5段，其余情况图像分为6段，所以甲的速度为乙的速度的2倍。

 ③ （12分）