某同学用两个完全相同的直角三角尺重叠在一起（如图①）固定△ABC不动，将△DEF沿线段AB向右平移．
（1）若∠A=60°，斜边AB=4，设AD=x，两个直角三角尺重叠部分的面积为y，试求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当D移至到什么位置时．四边形CDBF是菱形，并加以证明；
（3）当D移至AB中点时（如图②），四边形CDBF能否为正方形？若能，请你说明理由；若不能，请你添加一个条件说明四边形CDBF为正方形？

在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE=a，BC=EF=b（a＜b），B、C、D、E四点都在直线m上，点B与点D重合．连接AE、FC，我们可以借助于S_△ACE和S_△FCE的大小关系证明不等式：a²+b²＞2ab（b＞a＞0）．

解决下列问题：
（1）现将△DEF沿直线m向右平移，设BD=k（b-a），且0≤k≤1，如图2．当BD=EC时，k=．并利用此图，仿照上述方法，证明不等式：a²+b²＞2ab（b＞a＞0）
（2）用四个与△ABC全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式．请你画出一个示意图，并简要说明理由．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．

（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）若AB-BC=4，AC=8，求AE的长；
（3）当∠ABC=60°，BC=2时，点N为BC的中点，点M为边BP上一个动点，连接MC，MN，求MC+MN的最小值．

有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为6）如图1所示叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角α满足0＜α°＜90°，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图2）．
（1）在上述旋转过程中，①BH与CK有怎样的数量关系？②四边形CHGK的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．
（2）如图3，连接KH，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的

5

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？若存在，请求出此时KC的长度；若不存在，请说明理由．

在边长为2的正方形ABCD中，O为对称中心，正方形OEFG绕点O旋转，边OE、OG分别与边BC、CD交于点M、N．
（1）求证：OM=ON；
（2）探究四边形OMCN的面积是否随M、N的位置的变化而变化，说明理由；
（3）连结MN，探究在旋转正方形OEFG的过程中，△OMN的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）旋转．
（1）如图2的位置，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠MOB=15°，正方形ABCD的面积为4，求三角形OBM的面积．

将一张矩形纸板沿对角线剪开得到两个三角形，△ABC与△DEF，∠B=∠E=90°，如图①所示．
（1）将△ABC与△DEF按如图②方式摆放，使点B与E重合，点C、B、E、F在同一条直线上，边AB与DE重合，连接CD、FA，并延长FA交CD于G．试证：FA⊥CD
（2）在（1）所述基础上，将纸板△ACB沿直线CF向右平移，并剪去ED右侧部分，此时CA与ED的交点为A₁，连接CD、FA₁，并延长FA₁交CD于G，如图③所示，直线FA₁和CD的位置关系是（直接写出）
（3）在（2）所述基础上，将纸板△A₁CE绕点E逆时针旋转α度（0°＜α＜90°）至如图④所示位置，连接CD、FA₁，CD与FA₁交于点G，试判断FA₁与CD的位置关系？并说明理由．

已知如图1，Rt△ABC和Rt△ADE的直角边AC和AE重叠在一起，AD=AE，∠B=30°，∠DAE=∠ACB=90°．
（1）如图1，填空：∠BAD=；

BC

CD

=；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使AE到AB边上，∠ACH=∠BCH，连接BH，求∠CBH的度数；
（3）如图3，点P是BE上一点，过A、E两点分别作AN⊥PC、EM⊥PC，垂足分别为N、M，若EM=2，AN=5，求△AND的面积．

如图，直角梯形纸片ABCD，AB∥CD，∠B=90°，AB=BC=2cm，tan∠D=

1

2

．E为AD边上一动点．（E不与D重合，但可与A重合）过点E作EF⊥CD于点F，将纸片沿着EF折叠，使点D落在直线CD上的D′处．设DF=x（cm），△EFD′与直角梯形ABCD重叠部分面积为S（cm²）．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）在折叠过程中，是否存在x的值，使得△AED′是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（3）记线段AD所在的直线为l，平移直线l，交BC所在的直线于点G，交CD所在的直线于点H，在直线AB上存在点I，使得△GHI为等腰直角三角形，请直接写出满足题意的线段IB的所有可能长度．

如图1，把边长分别是为4和2的两个正方形纸片OABC和OD′E′F′叠放在一起．
（1）操作1：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转45°得到正方形ODEF，如图2，连接AD、CF，线段AD与CF之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
（2）操作2，在图2，将正方形ODEF沿着射线DB以每秒1个单位的速度平移，平移后的正方形ODEF设为正方形PQMN，如图3，设正方形PQMN移动的时间为x秒，正方形PQMN与正方形OABC的重叠部分面积为y，直接写出y与x之间的函数解析式；
（3）操作3：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转90°得到正方形OHKL，如图4，求△ACK的面积．