图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是　_________　；
（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：
方法1：　_________　；
方法2：　_________　；
（3）观察图②，请你写出（a+b）²、（a﹣b）²、ab之间的等量关系是　_________　；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若m﹣n=﹣5，mn=3，则（m+n）²的值为多少？

通常，我们把长方形和正方形统称为矩形．如图1，是一个长为2a，宽为2b的矩形ABCD，若把此矩形沿图中的虚线用剪刀均分为4块小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形MNPQ．
（1）分别从整体和局部的角度出发，计算图2中阴影部分的面积，可以得到等式　_________　．
（2）仔细观察长方形ABCD与正方形MNPQ，可以发现它们的　_________　相同，　_________　不同．（选填“周长”或“面积”）
（3）根据上述发现，猜想结论：用总长为36米的篱笆围成一个矩形养鸡场，可以有许多不同的围法．在你围的所有矩形中，面积最大的矩形的面积是　_________　米²．

小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．观察与操作：

（1）他拼成如图②所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：a²+2ab+b²=（a+b）²，验证了完全平方公式；即：多项式  a²+2ab+b²分解因式后，其结果表示正方形的长（a+b）与宽（a+b）两个整式的积．
（2）当他拼成如图③所示的矩形，由面积相等又得到：a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b），即：多项式 a²+3ab+2b²分解因式后，其结果表示矩形的长（a+2b）与宽（a+b）两个整式的积．
问题解决：
（1）请你依照小刚的方法，利用拼图写出恒等式a²+4ab+3b²．（画图说明，并写出其结果）
（2）试猜想面积是2a²+5ab+3b²的矩形，其长与宽分别是多少？（画图说明，并写出其结果）

已知实数a、b满足（a+b）²=1，（a﹣b）²=25，求a²+b²+ab的值．

（A类）（1）已知x+y=1，求x²+xy+y²的值；（2）已知10^a=2，10^b=3，求10^a+b的值．
（B类）（1）已知x²﹣3x+1=0，求x²+的值．（2）已知10^a=20，10^2b=5，求10^a﹣2b的值．
（C类）若x+y=2，x²+y²=4，求x²⁰⁰³+y²⁰⁰³的值．

求代数式5x²﹣4xy+y²+6x+25的最小值．

已知（2﹣a）（3﹣a）=5，试求（a﹣2）²+（3﹣a）²的值．

已知m=2010×2011﹣1，n=2010²﹣2010×2011+2011²，请尝试用一种简便方法比较m、n大小．

已知|x﹣y+1|与x²+8x+16互为相反数，求x²+2xy+y²的值．

设实数a，b，c满足a²+b²+c²=1．若a+b+c=0，求ab+bc+ca的值；