在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交
BC于点E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长．

图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形.当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A-B-C-D-E-F，C-D是，其余是线段），O是AF的中点，桶口直径AF =34cm，AB=FE=5cm，∠ABC =∠FED =149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.
（参考数据：≈17.72，tan73.6°≈3.40，sin75.4°≈0.97.）

有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm. 最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等.

（1）直接写出其余四个圆的直径长；
（2）求相邻两圆的间距.

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E。

(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

如图，点在圆O上，，与相交于点，，延长到点，使，连结．求证：直线与圆O相切．

如图，BD是⊙O的直径，过点D的切线交⊙O的弦BC的延长线于点E，弦AC∥DE交BD于点G
（1）求证：BD平分弦AC；
（2）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.
（1）求证：DF垂直平分AC；
（2）求证：FC＝CE；
（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.

如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，[
（1）在图中作出该弧的圆心O，则点O的坐标是（   ，  ）；
（2）作出过点B且与该弧相切的直线；（原创）

如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）求证：是定值.

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．