科目： 来源：第20章《二次函数和反比例函数》中考题集（41）：20.5 二次函数的一些应用（解析版） 题型：解答题

在如图所示的直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，D为x轴上一点，连接BD交y轴于E点，且tan∠CBE=．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过A、C、D三点，顶点为F．
（1）求D点坐标；
（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
（3）在直线DB上是否存在点P，使四边形PFDO为梯形？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由．

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已知：如图，抛物线y=-的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于C点，⊙M经过原点O及点A、C，点D是劣弧上一动点（D点与A、O不重合）．
（1）求抛物线的顶点E的坐标；
（2）求⊙M的面积；
（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究，当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．

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已知P（m，a）是抛物线y=ax²上的点，且点P在第一象限．
（1）求m的值
（2）直线y=kx+b过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M．
①当b=2a时，∠OPA=90°是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；
②当b=4时，记△MOA的面积为S，求的最大值．

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如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A₁B₁C₁，又连接△A₁B₁C₁的各边中点得到△A₂B₂C₂，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂，…
已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）．

（1）求这一系列三角形趋向于一个点M的坐标；
（2）如图2，分别求出经过A，B，C三点的抛物线解析式和经过A₁，B₁，C₁三点的抛物线解析式；
（3）设两抛物线的交点分别为E、F，连接EF、EC₁、FC₁、EC₂、FC₂、C₁C₂，问：C₂与△EC₁F的关系是什么？
（4）如图3，问：A，A₂，C，C₂四点可不可能在同一条抛物线上，试说明理由．

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已知抛物线y=ax²+b（a＞0，b＞0），函数y=b|x|
问：（1）如图，当抛物线y=ax²+b与函数y=b|x|相切于AB两点时，a、b满足的关系；
（2）满足（1）题条件，则三角形AOB的面积为多少？
（3）满足条件（2），则三角形AOB的内心与抛物线的最低点间的距离为多少？
（4）若不等式ax²+b＞b|x|在实数范围内恒成立，则a、b满足什么关系？

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已知抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-1）和C（0，-1），且与x轴交于A、B两点（A在B左边），直线x=m（m＞0）与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限内，直线x上是否存在点P，使得以P、B、D为顶点的三角形与△OBC全等？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的情况下，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，四边形AOPQ能否为平行四边形？若能，求Q点坐标；若不能，说明理由．

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（人教版）已知：二次函数y=x²-（m+1）x+m的图象交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，交y轴正半轴于点C，且x₁²+x₂²=10．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）是否存在过点D（0，-）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

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在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径作圆与x轴相切，求此圆的直径；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点间的距离之差最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达B，C点），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数表达式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．