科目： 来源：第4章《相似三角形》常考题集（11）：4.3 两个三角形相似的判定（解析版） 题型：解答题

已知，如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于D（AD＜DB），点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连接AF与直线CD交于点G．
（1）求证：AC²=AG•AF；
（2）若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．

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如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．

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如图，在△ABC的外接圆O中，D是的中点，AD交BC于点E，连接BD．
（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连接DC，若在上任取一点K（点A，B，C除外），连接CK，DK，DK交BC于点F，DC²=DF•DK是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．

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已知Rt△ABC中，∠B=90°．
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）．
①作∠BAC的平分线AD交BC于D；
②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；
③连接ED．
（2）在（1）的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形：
△______∽△______；△______≌△______．
并选择其中一对加以证明．

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（1）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当时，有；
②当时，有；
③当时，有．
当时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．

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如图，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸，“4开”纸，“8开”纸，“16开”纸…．已知标准纸的短边长为a．
（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：
第一步：将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B'处，铺平后得折痕AE；
第二步：将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．
则AD：AB的值是______

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如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．

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在矩形ABCD中，AB=14，BC=8，E在线段AB上，F在射线AD上．
（1）沿EF翻折，使A落在CD边上的G处（如图1），若DG=4，
①求AF的长；
②求折痕EF的长；
（2）若沿EF翻折后，点A总在矩形ABCD的内部，试求AE长的范围．

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如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．