[老题重现]求证:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高．已知:△ABC中.AB=AC.点P是BC边上任意一点.PE⊥AB于E.PF⊥AC于F.CD是AB边上的高线．求证:PE+PF=C——青夏教育精英家教网—

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科目： 来源：2013年山东省青岛市中考数学模拟试卷（三）（解析版） 题型：解答题

【老题重现】
求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高．
已知：△ABC中，AB=AC，点P是BC边上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD是AB边上的高线．
求证：PE+PF=CD
证明：连接AP，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC
∴

∵AB=AC
∴PE+PF=CD

【变式应用】
请利用“类比”和“化归”两种方法解答下面问题：
求证：等边三角形内上任意一点到三边的距离和等于一边上的高．
已知：点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC边上的高线．
求证：PD+PE+PF=AH
证明：
方法（一）类比：通过类比上题的思路和方法，模仿上题的“面积法”解决本题．
连接AP，BP，CP
方法（二）化归：如图，通过MN在等边△ABC中构造符合“老题”规律的等边△AMN，化“新题”为“老题”，直接利用“老题重现”的结论解决问题．
过点P作MN∥BC，交AB于M，交AC于N，交AH于G．

【提炼运用】
已知：点P是等边△ABC内任意一点，设到三边的距离分别为a、b、c，且使得以a、b、c为边能够构成三角形．
请在图中画出满足条件的点P一切可能的位置，并对这些位置加以说明．

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科目： 来源：2013年山东省青岛市中考数学模拟试卷（三）（解析版） 题型：解答题

如图，四边形OABC为直角梯形，OA⊥CO，CB∥OA，OA=CO=4，BC=3．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AO于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ、BQ．
（1）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式；
（2）当t为何值时，S_△BCQ：S_△AQM=3：2？
（3）是否存在某一时刻t，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由．