如图1:等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系.上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的．于是我们得——青夏教育精英家教网—

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科目： 来源：2011年安徽省蚌埠市七中高一自主招生考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系，上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的．
①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，求四边形ADFE的面积；
②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可）

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科目： 来源：2011年安徽省蚌埠市七中高一自主招生考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

在三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C对应的边分别是a，b，c，其中a-b=2

，CD⊥AB于D，BD-AD=2

，求△ABC三边的长．

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科目： 来源：2011年安徽省蚌埠市七中高一自主招生考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．
①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由．

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科目： 来源：2011年安徽省蚌埠市七中高一自主招生考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

如图，二次函数y=ax²+bx（a＞0）的图象与反比例函数

图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．
①求实数k的值；
②求二次函数y=ax²+bx（a＞0）的解析式；
③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m的函数关系式；
④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．