如图，矩形纸片中，.第一次将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第二次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第三次将纸片折叠使点与点重合，折痕与交于点O₃，… .按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点O_n，

则BO_n =        

计算：．

在8×8正方形网格中建立如图的平面直角坐标系，己知A（2，4），B（4，2）．

C是第一象限内一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形.

1.填空：C点的坐标是_________，△ABC的面积是__________；

2.将△ABC绕点C旋转180°得到△A₁B₁C，连结AB₁，BA₁，试判断四边形AB₁A₁B是何种特殊四边形，请说明理由；

3.请探究：在x轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积

2倍．若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．

如图，点C、D 在线段AB上，E、F在AB同侧，DE与CF相交于点O，且AC=BD， CO=DO，.求证：AE=BF.

列方程或方程组解应用题：

日本在地震后，核电站出现严重的核泄漏事故，为了防止民众受到更多的核辐射，我国某医疗公司主动承担了为日本福田地区生产2万套防辐射衣服的任务，计划10天完成，在生产2天后，日本的核辐射危机加重了，所以需公司提前完成任务，于是公司从其他部门抽调了50名工人参加生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务。求该公司原计划安排多少名工人生产防辐射衣服？

为了解学生的课余生活情况，某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查. 问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示）.                             

1.体育所占的百分比是_______,选择其他的人数是________

2.在问卷调查中，小丁和小李分别选择了音乐类和美术类，校学生会要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动，用列表或画树状图的方法求小丁和小李恰好都被选中的概率；

3.如果该学校有500名学生，请你估计该学校中最喜欢体育运动的学生约有多少名？

如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF.

1.证明BF是⊙O的切线;

2.设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小.

如图，某电信公司计划修建一条连接B、C两地的电缆。测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B处测得C地的仰角为60°，已知C地比A地高200m。求电缆BC的长（结果保留根号）.

某商场经营一批进价2元一件的小商品，在市场销售中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（件）之间有如下关系：

1.求日销售量y（件）与日销售单价x（元）之间的函数关系式

2.设经营此商品的日销售利润为P（元），根据日销售规律：

①试求出日销售利润P（元）与日销售单价x之间的关系式，并求出日销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润，日销售利润P是否存在最小值？若存在，试求出，若不存在，请说明理由

②分别写出x和P的取值范围。

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.

1.若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设，

则k =        ；

2.若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示． 求证：BE-DE=2CF；

3.若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．