如图，AB∥EF，那么∠A、∠ACF、∠F之间有怎样的数量关系？

如图，AB∥EF，那么∠A、∠ACE、∠E之间有怎样的数量关系？

木工师傅为了充分利用材料，准备把两块等宽的长方形木条拼接成一块较长的长方形木条使用，他先把第一块木条锯成图①的形状，量得∠1＝140°，∠2＝80°，再把第二块木条锯成图②的形状，然后把它们拼接成一块无缝的长方形木条，那么他应把∠4和∠5分别锯成多大的角？为什么？

将长为64 m的绳子剪成两段，每段都围成一个正方形(绳子没有剩余)，试问怎样剪可使得这两个正方形的面积之和最小？最小值是多少？

长方形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于P点，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，并使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E点．

(1)找出图中与PA相等的线段．并说明理由．

(2)若点E为CD的三等分点，且BC＝6，求BP的长．

小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦(即0.009千瓦)的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦(即0.04千瓦)的白炽灯，售价18元/盏，假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，并已知小明家所在地的电价是每千瓦时0.5元．

(1)小刚想在这两种灯中选购一盏①当照明时间是多少小时使用两种灯的费用一样多？②直接指出，当照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？当照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？

(2)小刚想在这两种灯中选购两盏，假定灯的使用寿命都是2800小时，而计划照明3000小时，请你帮他设计一种费用最低的选灯方案，并说明理由．

已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连结CF．

(1)求证：D是BC的中点；

(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c

(1)如图，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S₁、S₂、S₃，则有S₁＋S₂＝S₃；

(2)如图，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S₁、S₂、S₃，请问S₁＋S₂与S₃有怎样的数量关系，并证明你的结论；

(3)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图所示，其面积由小到大分别记作S₁、S₂、S₃，根据(2)中的探索，直接回答S₁＋S₂与S₃有怎样的数量关系；

(4)若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出图中阴影部分的面积．

我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．

(1)如果a、b、c是一组勾股数，即满足a²＋b²＝c²，求证：ka、kb、kc(k为正整数)也是一组勾股数．

(2)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，如

①公式a＝m²－n²，b＝2mn，c＝m²＋n²(m、n为整数，m＞n，m＞1)

②世界上第一次给出的勾股数的公式，被收集在《九章算术》中a＝(m²－n²)，b＝mn，c＝(m²＋n²)(m、n为正整数，m＞n)

③公元前427－公元前347，由柏拉图提出的公式a＝n²－1，b＝2n，c＝n²＋1(n＞1，且n为整数)

④毕达哥拉斯学派提出的公式a＝2n＋1，b＝2n²＋2n，c＝2n²＋2n＋1(n为正整数)

请你在上述的四个公式中选择一种加以证明，满足公式的a、b、c是一组勾股数

(3)请根据你在(2)中所选的公式写出一组勾股数．