在学校组织的一次野营活动中，小聪一组负责用直角三角形的铁皮代替锅烙饼，要求烙的饼与铁皮的形状、大小要相同；在烙饼过程中小聪他们遇到了一个问题，就是在把饼的一面烙好后，烙另一面时饼不能正好落在“锅”中，请你帮助小聪想一个办法，将饼怎样翻身，烙饼仍能落在“锅”中？如果是一个一般三角形“锅”和饼呢？

在同一平面内有直线a₁，a₂，…，a₁₀₀₀，如果a₁∥a₂，a₂⊥a₃，a₃∥a₄，a₄⊥a₅，…那么a₁与a₁₀是什么位置关系？由上面推理找出规律，判断a₁与a₉₉₉、a₁与a₁₀₀₀的位置关系．[方法提示：先画出a₁至a₁₀十条直线观察规律，再补画几条直线即可猜想其规律．]

阅读下列内容，探究图形奥秘．

(1)平面上两条直线相交，把平面分成________部分，画出图形；

(2)平面上三条直线两两相交，最多可以把平面分成________部分，画出图形；

(3)平面上四条直线两两相交，最多可以把平面分成________部分．

根据以上的探究，你发现了什么规律，与同学交流一下，如果平面上有10条直线两两相交，你知道这10条直线最多可以把平面分成几个部分吗？试试看．

如图，正方形ABCD中，P为对角线AC上一点，PE⊥CD于E，PF⊥AD于F，那么BP与EF相等吗？你是怎样判断的？

如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．

(1)图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；(不添加任何辅助线)

(2)证明四边形AHBG是菱形；

(3)若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．(不必证明)

如图，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转．

(1)如图，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

(2)若三角尺GEF旋转到如图所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，(1)中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

已知：如图(1)，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG＝(AB＋AC＋BC)．

若(1)BD、CE分别是△ABC的内角平分线(如图(2))；

(2)BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线(如图(3))，则在图(2)、(3)两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的情况给予证明．

在一张长12 cm，宽5 cm的矩形纸片上，要折出一个菱形．李颖同学按照取两组对边中点的方法，如图(1)，折出菱形EFGH(方案一)，张丰同学如图(2)，沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF(方案二)，请你通过计算，比较李颖同学与张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG．

(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；

(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．

如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，△ABC绕点A逆时针旋转90°至△ADE处，M为CE中点，N为AD中点．

探索：(1)AM与CE的位置及大小关系，并说明理由；

(2)MN与AD的位置关系，并说明理由．