(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)…(2³²＋1)＋1．

已知：(a＋b)²＝11，(a－b)²＝5．求：

(1)a²＋b²　　(2)ab

　　八年级甲班和乙班举行了一次联欢会．许刚在晚会上表演了一个小小的戏法．他从口袋里拿了一副扑克牌说：“这是一副普通的扑克牌，我要请一位同学将牌洗均匀，谁来洗？”陈逸上来接过牌，啪啪啪地洗了几次，交给许刚．许刚随即将牌装进了口袋说：“牌已洗匀了，现在请一位同学随便报一个不大于15的正整数，我总能抽出一组牌，其数值相加正好是你所报的数．”大家的脸上显示出了困惑的表情，真有这么神吗？花卉报了一个“14”，许刚立即从口袋里的牌中抽出一组牌，摊放在桌上，大家一看是2，4，8这三张牌，它们的和正好是14．报了几个数，许刚的表现都正确无误，难道许刚真的会魔法吗？

　　当然，魔法是不存在的，但这戏法的奥妙在哪里呢？你能揭穿它吗？

　　这个戏法的最关键之处是要构造一组数，使得15以内的正整数都能用这组数中的几个数的和来表示．这组数是2的连续次幂，即1，2，4，8，不超过15的正整数都可以用以上4个数中的几个或全部的和来表示．你不妨验证一下．

　　许刚在做戏法前已抽出了以上的4张牌，并将它们按顺序叠好先放置在口袋里．当他叫陈逸洗牌时，因为整个一副牌里只少了4张牌，谁也不会在意的．然后他将洗好的牌放进口袋，将事先选取的4张牌叠放在整副牌的上面．这样当然可以不费力地抽出需要的几张．

若要求所报的数不超过31，你会设计吗？你应如何表演呢(注：扑克牌里找不到16点，你可用K和3代替)？

分别计算图1和图2中的阴影部分的面积．

不求出多项式的积，直接求出(3x⁴－2x³＋x²－8x＋7)(2x³＋3x²＋6x＋3)中x³项的系数．

若不论x取何值，多项式x³－2x²－4x－1与(x＋1)(x²＋mx＋n)都相等，求m，n．

已知ab²＝－6，求－ab(a²b⁵－ab³－b)的值．

　　观察是思考的“外壳”，要想思考得好，一定要善于观察．数学家在发现或解决问题时往往首先依赖于他对若干现象的观察－－通过观察，如果发现某种值得注意的规律，就对它进行研究，并力图从中发现某种结论，去解释或描述这种模型，以求问题的顺利解决．例如，如果让你用任意方法去切一块圆饼，只要通过同一点不超过两刀，那么最多能得到几块？

　　自然，我们用不着特地去买一块饼来，只要在纸上画一些圆就行了．我们对各圆进行不同次数的切割，并在表中记录结果，得到：

　　我们仔细考查一下这张表，看看能否找到其中的规律．从记录上看，增加的块数分别是自然数1，2，3．切割次数也分别是1，2，3．这种规律是否继续有效呢？让我们再多试几次，并记录数据，得到：

　　现在的增加数分别是1，2，3，4，5，可见规律继续有效．这种规律使我们预测到：切割6次得22块，切割7次得29块．并进一步能使我们预测切割任意次所得的块数．

想一想：切割8次、9次将分别得到多少块？

我们知道：1²＝1，2²＝4，3²＝9，4²＝16，5²＝25，…，若自然数的平方按由小到大的顺序排成：

14916253649…，

则第351个位置的数字是几？

问题：你能比较2000²⁰⁰¹和2001²⁰⁰⁰的大小吗？

为了解决这个问题，写出它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和(n＋1)ⁿ的大小(n是自然数)，然后我们从分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳猜想得出结论：

(1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在横线上填写“＞”、“＜”或“＝”号)：

①1²________2¹　　②2³________3²　　③3⁴________4³　　④4⁵________5⁴　　⑤5⁶________6⁵

(2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和(n＋1)ⁿ的大小关系是________．

(3)根据上面归纳猜想到的结论，试比较下列两个数的大小：2000²⁰⁰¹________2001²⁰⁰⁰．