如图正三角形边长为a，以三边为弦作弧交于△ABC的外心O，求所得菊形面积．

如图(1)要将一块直径为2m的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．

操作：

方案一：在图(1)中设计 一个使圆柱一个底面最大，半圆形铁皮得以充分利用的方案(要求：画示意图)．

方案二：在图(2)中设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以充分利用的方案(要求：画示意图)．

探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径．(2)求方案(2)中，圆 锥底面的半径．(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O₁，O₂，圆锥底面的圆心为O₃，试判断以O₁，O₂，O₃，O为顶点四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明求解．

如图(1)⊙O₁和⊙O₂内切于点P，C是⊙O₁上任一点(与点P不重合)实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点O₁，另一条直角边所在直线交⊙O₂于点A、B，直线PA、PB分别交⊙O₁于点E，F，连接CE(图(2)是实验操作备用图)

探究：(1)你发现，有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现；

(2)你发现线段CE，PE，BF有怎样的比例关系？证明你的发现．

(3)如图(3)若将上述问题⊙O₁和⊙O₂由内切变为外切，其他条件不变，请你探索线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，并证明．

如图，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，P是⊙O₁上一点，PB的延长线交⊙O₂于点C，PA交⊙O₂于点D，CD的延长线⊙O₁于点N．

(1)过点A作AE∥CN，交⊙O₁于点E，求证PA＝PE．

(2)连结PN，若PB＝4，BC＝2，求PN的长．

如图，AB是⊙O直径，延长BA到P，PC是⊙O切线，切点为C，过点B作PC垂线交⊙O于D，交PC于点E，PA＝1，PC∶OD＝∶1，求BC、CE长．

如图已知半径R，锐角△ABC的内接圆⊙O，且BC＝a，(1)求证：＝2R；(2)若BC边上高为AD，求证AB·AC＝2R·AD，并指出点A在什么位置时AB·AC值最大？(3)若sin∠BAC＝，BC＝4，当AB·AC的值最大时，求△ABC面积．

阅读下列问题再解答：如图所示，AB是⊙O直径，CD是弦且CD⊥AB，点E是中点，连CE，DE则DE∥AB，若D点、B点、A点不动，C点在运动使∠ECD不变，那么DE与AB还平行吗？结论是平行的．

理由：C点在不断运动中∠ECD不变，即＝，如图(2)，∵∠DCE＝∠ECB，E是中点，∴AB∥DE．

问题：如图，⊙O直径AB＝8，D是半圆(A，B除外)上任一点，∠ADB的平分线交⊙O于C，弦EF过AC，BC的中点M，N．(1)不论D怎么运动，△ABC是一个怎样特殊三角形；(2)求EF的长．

如图所示，AB是⊙O的一条弦，点C为的中点，CD是⊙O直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F．

(1)判定图中∠CEB与∠FDC大小关系，并写出结论；

(2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合)，在旋转过程中，E点，F点位置也随之变化，请你在下面的两个备用使(1)结论仍然成立的图形，标相应字母，选其中一个图形给予证明．

如图，AB是⊙O直径，直线l交⊙O于C、D两点，分别作直线l的垂线，垂足分别为E，F，连结OE，OF，(1)求证：CE＝DF，OE＝OF；(2)若AB＝10，CD＝8，求AE＋BF的长．

1．已知如图所示，BC为半圆O的直径，AB⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE＝BE，求证：(1)＝；(2)AH·BC＝2AB·BE．

2．在上题中若加上条件sin∠FBC＝，AB＝4，求AD的长．