电工想用一块长AB＝5cm，宽BC＝4cm的矩形钢板ABCD做出一个面积尽可能大的扇形，他设计了两种方案．(以下数据解题时供参考：＝，＝，＝．)

(1)如图①直接从钢板上割下扇形ABP，请你求出此时圆心角α₁的大小．

(2)如图②先在钢板上沿对角线切割下两个扇形，再焊成一个如图③所示的大扇形ABC(不计接缝)，请你求出此时的扇形ABC的圆心角α₂，并与α₁比较大小．

(3)根据方案(1)、(2)的思路和计算结论，请你在图④中再设计一种切割、焊接的方案，使得扇形钢板的半径与(1)、(2)中的扇形半径相同，从而圆心角更大，因而面积也更大(不计接缝)．

某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：(1)买一套西装送一条领带；(2)西装和领带均按定价的90％付款．某公司欲为本公司员工统一购买工作服，现要到服装厂购买西装20套、领带x条(x＞20)．请你根据x的不同情况，帮助该公司选择最省钱的购买方案．

某服装店老板用8000元从某地购进一种夏季衬衫若干件，以每件58元的价格出售，很快售完，又用17600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次多了4元，服装店仍按每件58元出售，全部售完．求该服装店两次出售这种服装共盈利多少元？

生活常识告诉我们：向一杯糖水(未饱和)溶液中再添加一定量的糖后，虽然糖(溶质)、糖水(溶液)的质量均增加了，但糖水变得更甜了(即溶液的浓度增加了)．又如：班级新转来一名男同学，虽然男同学的人数、班级总人数均增加了，但男生所占的百分比也增加了．生活中诸如此类的例子还很多，将以上问题抽象成数学问题，即可得到如下不等式：＞(其中a，b，m均为正数)．

(1)验证下述不等式(用“＞”、“＝”或“＜”填空)：

①________＝　　　　②________＝

③________＝　　　　④________＝

(2)猜想＜(a，b，m均为正数)成立的条件，并证明你猜想的正确性．

已知x₁，x₂是关于x的方程x²－kx＋5(k－5)＝0的两个正实数根，且满足2x₁＋x₂＝7，求实数k的值．

已知：如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点．连结AC、BC，过O点作AB的垂线，交BC于E，交半圆于F，交AC的延长线于D．

(1)求证：＝．

(2)如果OA＝2，点C在上运动(不与点A、F重合)．设OE的长为x，△AOD的面积为y，求y和x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并画出函数图像．

已知关于x的一元二次方程x²－2mx－3m²＋8m－4＝0．

(1)求证：当m＞2时，原方程永远有两个实数根；

(2)若原方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围．

列方程或方程组解应用题：

甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到周庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，求乙所用的时间．

如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(－3，0)、(0，3)．

(1)一次函数图像上的两点P、0在直线AB的同侧，且直线PQ与y轴交点的纵坐标大于3，若△PAB与△QAB的面积都等于3，求这个一次函数的解析式；

(2)二次函数的图像经过点A、B，其顶点C在x轴的上方且在直线PQ上，求这个二次函数的解析式；

(3)若使(2)中所确定的抛物线的开口方向不变，顶点C在直线PQ上运动，当点C运动到点时，抛物线在x轴上截得的线段长为6，求点的坐标．

已知：如图，以正方形ABCD的边AB为直径作半圆，圆心为O，CG切半圆O于点E，交AD于点F，交BA的延长线于点G．已知AE、BE的长是关于x的方程x²－6x＝－2m的两个实数根．

(1)用含m的代数式表示CE的长；

(2)求m的值和EF的长．