如图，O₁和O₂内切于点P．C是O₁上任一点(与点P不重合)．

实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C上，一条直角边经过点O₁，另一条直角边所在直线交O₂于点A、B，直线PA、PB分别交O₁于点E、F，连结CE(下图是实验操作备用图)．

探究：(1)你发现、有什么关系？用你学过的数学知识证明你的发现；

(2)你发现线段CE、PE、BF有怎样的比例关系？证明你的发现．

(附加题：如图，若将上述问题的O₁和O₂由内切变为外切，其他条件不变，请你探究线段CE、PE、BF有怎样的比例关系，并证明．)

如图，已知M、N、P、Q是菱形各边中点，求证M、N、P、Q在同一个圆上．

如图，已知在△ABC中，∠ACB＝，AB＝10，BC＝8，CD⊥AB于D，O为AB的中点．

(1)以C为圆心，6为半径作圆C，试判断A、D、B与C的位置关系；

(2)C的半径为多少时，点O在C上．

如图，AB是O的直径，直线l与O相交于C₁、C₂，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC₁＝C₂F．

若将图1中的直线l继续向上平移，使弦C₁C₂与AB相交于点P(P不与A、B重合)，在其他条件不变的情况下，你能将变化后的图形画出来吗？画在图2中，并标好对应的字母，写出与上面相类似的结论，判断你写出的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，请给出证明．

如图，AB、CD是O的直径，DF、BE是弦，且DF＝BE．求证：∠D＝∠B．

如图，已知O₁与O₂都经过A、B两点，M是线段O₁O₂的中点，过A点作EF⊥AM，EF分别与O₁、O₂相交于点E、F．求证AE＝AF．

如图，O的直径DF与弦AB交于点E，C为O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG＝∠ABD．

求证：AD·CE＝DE·DF．

说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来(要求至少写3步)．(2)在你经历说明(1)的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

①∠CDB＝∠CEB；

②AD∥EC；

③∠DEC＝∠ADF，且∠CDE＝．

如图，已知AB为O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D，若AE＝AC，BE交O于点F，连结CF、DE．求证：

(1)AE²＝AD·AB；

(2)∠ACF＝∠AED．

如图，在O中，已知AB为直径，C、D为O上的两点，且C、D在AB的两侧，OD⊥AB，求证DC平分∠ACB．

已知：如图，∠AOB＝，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点F、F．求证：AE＝BF＝CD．