如图所示，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．

(1)当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB；

(2)当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△BDC．

已知正方形ABCD的边长为2，以BC边为直径作半圆O，P为DC上一动点(可与D重合但不与C重合)，连结BP交半圆O于点E，过点O作直线l∥CE交AB(或AD)于点Q．

(1)如图1，求证：△OBQ∽△PEC．

(2)设DP＝t(0≤t＜2)，直线l截正方形所得左侧部分图形的面积为S，试求S关于t的函数关系式．

(3)当点Q落在AD(不含端点)上时，问以O、P、Q为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，请指出此时点P的位置；若不能，请说明理由．

已知抛物线y＝x²＋mx－2m²(m≠0)．

(1)求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；

(2)过点P(0，n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是否存在实数m，n，使得AP＝2PB？若存在，则求出m，n满足的条件；若不存在，请说明理由．

如下图所示，∠APC称为圆内角(角的顶点在圆内且与圆心不重合)．

(1)请同学们按以下步骤作图：

①用圆规作⊙O；

②在⊙O内作一个圆内角∠APC(∠APC≤90°)；

③延长AP，CP交⊙O于B，D两点；

④连接OA，OB，OC，OD．

(2)按此作图步骤再重复作一个图形，对应点用，，，，，来表示．

(3)用量角器量出两图中的下列各角的度数：∠APC＝________，∠＝________，∠AOC＝________，∠＝________，∠BOD＝________，∠＝________．

(4)根据上面量得的两组数据猜想∠APC与∠AOC，∠BOD有什么数量关系？

(5)根据你所作的(1)中的图证明你的猜想．

(6)用语言描述你证明的结果．

如下图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．

(1)P是上一点(不与C，D重合)，求证∠CPD＝∠COB；

(2)点在劣弧CD上(不与C，D重合)时，∠CD与∠COB有什么数量关系请证明你的结论．

如图所示，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，则可得结论DE是⊙O的切线．

(1)若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由；

(2)若AB＝AC＝5 cm，sinA＝，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？

已知如图所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，AC＝DB，AD＝BC＝4，∠ADC＝60°，EF是中位线，交BD于M，交AC于N．

(1)求EF，MN的长及梯形ABCD的面积；

(2)观察MN与梯形上、下底的关系，并思考结论能否推广到一般梯形？