已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF．

求证：DE＝DF．

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

(1)求证：DE平分∠BDC；

(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．

求证：(1)∠AOC＝2∠ACD；

(2)AC²＝AB·AD．

如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．

(1)证明：直线FC与⊙O相切；

(2)若OB＝BG，求证：四边形OCBD是菱形．

如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC＝AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF．

求证：

(1)AF∥BE；

(2)△ACP∽△FCA；

(3)CP＝AE．

如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，点D为劣弧的中点．

(1)求证：四边形AOBD是菱形；

(2)延长线段BO至点P，交⊙O于另一点C，且BP＝3OB，求证：AP是⊙O的切线．

将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，证明：四边形AEDF是菱形．

已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

(Ⅰ)如图，若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长(结果保留根号)；

(Ⅱ)如图，若D为AP的中点，求证直线CD是⊙O的切线．

如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C

(1)求证：∠AED＝∠ADC，∠DEC＝∠B；

(2)求证：AB²＝AE·AC