已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数y＝(k＞0)的图象与AC边交于点E．

(1)求证：△AOE与△BOF的面积相等．

(2)记S＝S_△OEF－S_△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？

(3)请探索：是否存在这样的点F，做一日和尚撞一天钟得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．

(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，

则BE________CF；EF________|BE－AF|(填“＞”，“＜”或“＝”)；

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(2，4)，直线x＝2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y＝x²从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动．

(1)求线段OA所在直线的函数解析式；

(2)设抛物线顶点M的横坐标为m，

①用m的代数式表示点P的坐标；

②当m为何值时，线段PB最短；

(3)当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且当x＝O和x＝4时，y的值相等．直线y＝4x－16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q．若点P在线段OM上运动(点P不与点O重合，但可以与点M重合)，设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

(3)随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；

(4)随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO＝OC？如果存在，请求出t的值．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE－EF－FC－CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC－CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．

(1)D，F两点间的距离是________；

(2)射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；

(3)当点P运动到折线EF－FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；

(4)连结PQ，当PG∥AB时，请直接写出t的值．

如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP．

(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b与x轴交于P(－2，0)．与y轴交于C，若A、B两点在直线y＝kx＋b上．且AO＝BO＝，AO⊥BO．D为线段MN的中点．OH为Rt△OPC斜边上的高．

(1)OH的长度等于________；k＝________，b＝________．

(2)是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点F．满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式．同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)．并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜10，写出探索过程

如图，在平面直角坐标系中，以点C(1，1)为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．

(1)求∠ACB的大小；

(2)写出A，B两点的坐标；

(3)试确定此抛物线的解析式；

(4)在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－＋bx＋c经过A(0，－4)、B(x₁，0)、C(x₂，0)三点，且x₂－x₁＝5．

(1)求b、c的值；

(2)在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；

(3)在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝DC，AD＝2，BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD．

(1)写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；

(2)探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由．