在平面直角坐标系中，A点的坐标为(0，4)，C点的坐标为(10，0)．

(1)如图，若直线AB∥OC，点D是线段OC的中点，点P在射线AB上运动，当△OPD是腰长为5的等腰三角形时，直接写出点P的坐标；

(2)如图，若直线AB与OC不平行，AB所在直线y＝－x＋4上是否存在点P，使△OPC是直角三角形，且∠OPC＝90°，若有这样的点P，求出它的坐标，若没有，请简要说明理由．

如图，已知点A(－4，8)和点B(2，n)在抛物线y＝a²上．

(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ＋QB最短，求出点Q的坐标；

(2)平移抛物线y＝ax²，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，点C(－2，0)和点D(－4，0)是x轴上的两个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，＋最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(3，0)、C(0，4)，点D的坐标为D(－5，0)，点P是直线AC上的一动点，直线DP与y轴交于点M．问：

(1)当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；

(2)当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R(R＞0)画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．

注：第(3)问请用备用图解答．

如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，0)、C(0，2)，D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合)．

(1)试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

(2)当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；

(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；

(4)设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

如图，已知抛物线y＝x²－2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结C，将△AC沿C翻折后，点A落在点D的位置．

(1)求直线l的函数解析式；

(2)求点D的坐标；

(3)抛物线上是否存在点Q，使得S_△DQC＝S_△DPB？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点(不包括端点)，作∠AEF＝90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C(m，n)．

(1)若m＝n时，如图，求证：EF＝AE；

(2)若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF＝AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)若m＝tn(t＞1)时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF＝(t＋1)AE成立？并求出点E的坐标．

如图，抛物线y＝a(x＋3)(x－1)与x轴相交于A、B两点(点A在点B右侧)，过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(－2，6)．

(1)求a的值及直线AC的函数关系式；

(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标(不必写解答过程)；如果不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

(1)求点B的坐标；

(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

如图，已知抛物线y＝x²－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

(1)求A、B、C三点的坐标．

(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

如图，抛物线与x轴交于A(x₁，0)，B(x₂，0)两点，且x₁＞x₂，与y轴交于点C(0，4)，其中x₁，x₂是方程x²－2x－8＝0的两个根．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．