已知：如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(1，0)、B(5，0)、C(0，5)三点．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)若过点C的直线y＝kx＋b与抛物线相交于点E(4，m)，请求出△CBE的面积S的值；

(3)在抛物线上求一点P₀使得△ABP₀为等腰三角形并写出P₀点的坐标；

(4)除(3)中所求的P₀点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P(要求简要说明理由，但不证明)；若不存在这样的点P，请说明理由．

△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y＝x²－2ax＋b²交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是(a＋c，0)．

(1)求证：△ABC是直角三角形．

(2)若S_△MNP＝3S_△NOP，①求cosC的值；②判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使三角形MND(D为抛物线的顶点)是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由．

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A(m，6)，B(n，1)为两动点，其中0＜m＜3，连结OA，OB，OA⊥OB．

(1)求证：mn＝－6；

(2)当S_△AOB＝10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；

(3)在(2)的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S_△POF∶S_△QOF＝1∶3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．

(1)点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF＝45°的等腰三角形？若能，请指出△OEF为等腰三角形时动点E，F的位置．若不能，请说明理由．

(2)当∠EOF＝45°时，设BE＝x，CF＝y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围．

(3)在满足(2)中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切(如图)，试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长(OB＜OC)是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)求此抛物线的表达式；

(3)连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合)，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

(4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过及原点O(0，0)．

(1)求抛物线的解析式．

(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

如果符合(2)中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系？为什么？

如图，二次函数y＝ax²的图象与一次函数y＝x＋b的图象相交于A(－2，2)、B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P(t，0)，为线段CD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．

(1)求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标．

(2)当SR＝2RP时，计算线段SR的长．

(3)若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t＋3，问是否存在t的值，使S_△BRQ＝15．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB＝4，BC＝6，OC＝8．正方形ODEF的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO面积．将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S．

(1)分析与计算：

求正方形ODEF的边长；

(2)操作与求解：

①正方形ODEF平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S(S＞0)的变化情况是________；

A．逐渐增大

B．逐渐减少

C．先增大后减少

D．先减少后增大

②当正方形ODEF顶点O移动到点C时，求S的值；

(3)探究与归纳：

设正方形ODEF的顶点O向右移动的距离为x，求重叠部分面积S与x的函数关系式．

如图，抛物线y＝x²＋bx＋c(b≤0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，0)；直线x＝1与抛物线交于点E，与x轴交于点F，且45°≤∠FAE≤60°．

(1)用b表示点E的坐标；

(2)求实数b的取值范围；

(3)请问△BCE的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．

如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F(E，F不与顶点重合)，设AB＝a，AD＝b，BE＝x．

(Ⅰ)求证：AF＝EC；

(Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作．

(1)求出直线分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的x∶b的值；

(2)在直线经过原矩形的一个顶点的情形下，连接，直线与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？