科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：
（1）AG=

1

2

AD；
（2）DF=EF；
（3）S_△DGF=S_△ADG+S_△ECF．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁、E₁、F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB，连接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，可得△D₁E₁F₁是等边三角形，此时△AD₁F₁的面积S₁=

1

4

S，△D₁E₁F₁的面积S₁=

1

4

S．
（1）当D₂、E₂、F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB时如图2，
①求证：△D₂E₂F₂是等边三角形；
②若用S表示△AD₂F₂的面积S₂，则S₂=______；若用S表示△D₂E₂F₂的面积S₂′，则S₂′=______．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当D_n、E_n、F_n分别是等边△ABC三边上的点，AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB时，（n为正整数）△D_nE_nF_n是______三角形；
若用S表示△AD_nF_n的面积S_n，则S_n=______；若用S表示△D_nE_nF_n的面积S_n′，则S′_n=______．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图所示，已知AB=AC，∠APC=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BC=4

3

，求⊙O的面积．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图①，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．
（1）求证：∠BQM=60°；
（2）如图②，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，说明理由．

科目： 来源：不详 题型：解答题

Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA，OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内做等边△ODE．
（1）如图（1），当E点恰好落在线段AB上，求E点坐标；
（2）在（1）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移如图，图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
（3）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

科目： 来源：不详 题型：解答题

已知：如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、CA上的点，且BD=CE．
（1）求证：AD=BE；（2）求∠AFE的度数．

科目： 来源：不详 题型：解答题

为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．
如图，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，延长BC，使CE=CD，连接DE，求证：BC+DC=AC．
思路点拨：
（1）由已知条件AB=AD，∠BAD=60°，可知：△ABD是______三角形；
（2）同理由已知条件∠BCD=120°得到∠DCE=______，且CE=CD，可知______；
（3）要证BC+DC=AC，可将问题转化为两条线段相等，即______=______；
（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明…．请你完成证明过程：

科目： 来源：不详 题型：单选题

如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于（　　）

A． 3

B．2 3

C．4 3

D．无法确定

科目： 来源：不详 题型：解答题

（1）如图①，△ABC是等边三角形，D是AB上一点，以CD为一边向上作等边△ECD，连接AE，求证：∠CAE=∠CBA．
（2）在上题（1）中，当D点在AB的延长线上时，其他条件不变，如图②所示，请你补画出题意的图形，（1）的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请简要说明理由．

科目： 来源：不详 题型：解答题

如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F．
（1）试判断DF与EF的数量关系，并给出理由．
（2）若CF的长为2cm，试求等边三角形ABC的边长．