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已知，如图，△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有AC=AD=CE，求证：DE=

1

2

CD．

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如图，Rt△OAB与曲线y₁=

k

x

的一支交于点C、D，点B在横轴上，AC=OC，△BOD∽△BAO；
（1）求直线OA的解析式y₂；
（2）若△AOD的面积为9，求k的值；
（3）直接写出y₁＞y₂时x的取值范围．

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如图：
（1）分别求出直线和抛物线的解析式；
（2）若M为抛物线第一象限的动点，求S_△AMB的最值．

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如图，矩形OABC的顶点C、A分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，3），双曲线y=

k

x

（x＞0）的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，连接DE．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求tan∠BDE的值；
（3）若坐标轴上存在一点F，使△OFA∽△BDE成立，试求点F的坐标．

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如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动，设运动的时间为t．
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？
（2）t为何值时，P、Q两点之间的距离是6

5

m？
（3）在移动的过程中，PQ能否将矩形ABCD分成面积比为1：2的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

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如图，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=CB，BH⊥AC于H，D是射线BH上一点，连接AD，以点A为旋转中心，将射线AD顺时针旋转

1

2

∠ABH，交射线BH于E，在射线AE上取一点F，连接FC，点D在AF的垂直平分线上．

（1）如图1，求证：∠BCF=90°；
（2）连接BF，取BF的中点G，连接DG，探究线段FC、DG、BH三条线段间的数量关系，并证明你的结论．

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四边形ABCD中，AB=

3

，BC=CD=DA=1．当△ABD和△BCD的面积的平方和为最大时，试确定△ABD为何种三角形？并证明你的结论．