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等边三角形ABC中，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．∠BPF=60°，求证：△APE∽△BAE．

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如图，A、B两个化工厂在河道CD的同侧，A、B两厂到河的距离分别为AC=2km，BD=3km，CD=12km，现在河边CD上建污水处理站，将A、B两厂输送的污水处理后再排入河道，设铺设排污水管的费用为20000元/千米，请你在河道CD边上选择污水站位置O，使铺设排污水管的费用最省，并求出铺设排污水管的总费用？

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如图，A（-3，2），B（-2，4），C（n，0），D（0，m），若四边形ABCD的周长最小，求-

m

n

的值．

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在△ABC中，点D、E分别是AC、BC边上的点，请你在AB边上确定一点P，使△PDE的周长最小．在图中作出点P．

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如图，△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知∠A=30°，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

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已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC=4，BD=5，求

AD

AO

的值．

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如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结DE．若AB=8，CD=2，则DE的长为（　　）

A、4 5

B、5 3

C、4 3

D、3 5

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将一副三角板按照如图1所示的方式放置，其中两直角顶点重合于点C，两斜边AB、DE相交于F，∠A=30°，∠CDE=45°．
（1）求∠EFB的度数；
（2）保持三角板ABC的位置不懂，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针旋转，当旋转到CD∥AB时（如图2所示），求此时∠ACD的度数．
（3）在（2）的基础上，将三角板CDE继续绕点C顺时针旋转，直至回到图1开始的位置．在这一过程中，是否还会出现三角板CDE的一边与AB平行的情况？如果会出现，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ACD的大小；如果不会出现，也请说明理由．

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