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如图所示，抛物线y=x²-2x-3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，直线y=x-3经过点B，C，连接AC． 
（1）求tan∠ACO； 
（2）在直线BC下方的抛物线上有一点M，使得四边形ABMC面积最大，求点M的坐标并写出四边形ABMC面积的最大值； 
（3）点H在抛物线上，当∠HBC=∠ACO时，求点H的坐标．

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如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为-2和8．
（1）求线段AB的长；
（2）若P为射线BA上的一点（点P不与A，B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，PN的长度等于PM的长度的2倍？求出此时点P所表示的数．

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如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积．

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如图，已知抛物线y=ax²+bx+c 与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，-3），其顶点为D，对称轴为直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形△EFG，将△EFG与△BCD重叠部分的面积为S，用含m的代数式表示S．

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如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-6，0），B（2，0），C（0，-6）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线对称轴上的一点，设△BCP的周长为C，求C的最小值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，二次函数y=-x²+2（m-2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．
（1）求m的值及顶点D的坐标．
（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；
（3）当-

1

2

≤x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1

3

4

，求n的取值范围．

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如图1，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．

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小明想将如图所示的一根绳子（无弹性）围成的直角三角形的一个锐角顶点去掉（即把一个锐角顶点变成直角顶点，另两个顶点位置不变）．用这条绳子围成一个长方形，那么所围成的长方形的长、宽各是多少？面积是多少？

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如图1，已知抛物线过三点O（0，0）、A（8，0）、B（2，2

3

），弧AB过线段OA的中点C，若点E为弧AB所在圆的圆心．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求∠BAO的度数；
（3）求圆心点E的坐标，并判断点E是否在这条抛物线上；
（4）若弧BC的中点为P，是否在x轴上存在点M，使得△APB与△AMP相似？若存在，请求出点M的坐标，若不存在说明理由．

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如图，已知抛物线y=ax²+x+c（a≠0）与x轴交点A（-2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一动点，求△BCD面积的最大值；
（3）已知点E（4，3），且直线AE交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q，是否存在以A，M，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．