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如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，长、宽分别为a、b的正方形4张，边长为b的正方形卡片4张，若用这9张卡片拼成一个正方形，求该正方形的面积．

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在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E，连接BE．
（1）如果∠ABE=40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC的周长为82cm，一边为30cm，求△BCE的周长．

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如图，x轴是西气东输工程天然气的主管道，按规定主管道在我市只允许开一个口，A（2，1），B（10，5）是我市新建的两个天然气站，现在要在x轴上选一个点开口，分别连接到A、B，小明说：“作AB的垂直平分线交x轴于C，就选点C，C点到A、B的距离相等．“小华说：“不行，可以用轴对称知识做出点E，点E到A、B的距离之和最小，这样可以节约原材料，节省费用．“请你求出：
（1）C点的坐标；
（2）AE+BE的值．

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=16cm，动点P从点A出发沿AC边以3cm/s的速度向点C运动，动点Q从点C出发沿BC边以4cm/s的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在运动过程中，△PCQ关于直线=PQ的对称的图形是△PDQ，设运动时间为t（s）．
（1）当t=

 

，四边形PCQD是正方形；
（2）当t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）当t为何值时，使得PD∥AB？
（4）是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，取一把含30°角三角板，把30°角的顶点放在边BC的中点P处，三角板绕点P旋转．

（1）如图1，当三角板的两边分别交边AB、AC于点E、F，连接EF，请说明△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交CA的延长线、边AB于点F、E，连接EF．
①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；
②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由；
（3）设AE=x，EF=y，求y与x的函数分析式，并写出自变x的取值范围．