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已知，在△ABC中，AC＞AB，BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E，与BC相交点D，DE与AC相交于点F．

（1）如图1，当∠ABC=3∠ACB时，求证：AB=AE；
（2）如图2，当∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，过点D作AC的垂线，垂足为点H，并延长DH交射线AE于点M，过点E作BP的垂线，垂足为点G，点D₁是点D关于直线AC的对称点，试探究AG和MD₁之间的数量关系，并证明你的结论．

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如图，PA与PB切⊙O于A、B，C为优弧

AB

上一点，连接BC，作PD∥AC交BC于D．
（1）求证：点D、A、O、P、B共圆；
（2）求证：D为弦MN中点．

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在半圆O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线于M（MB＜MA，AC＜MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°．

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图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各画一个四边形，满足以下要求：
（1）在图①中以AB和BC为边画四边形ABCD，点D在小正方形的顶点上，且此四边形为中心对称图形；
（2）在图②中以AB和BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，且此四边形的面积等于（1）中所画的四边形ABCD的面积；
（3）图①所画的四边形与图②所画的四边形不全等．

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如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，过A点作AT⊥FD，写出BD-CD与AT之间的数量关系并证明．

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在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线AC上一点，直线AE⊥直线BD，垂足为E，直线AE和直线BC交于点H，过点C作AB的平行线，交直线AE于F，连DF．
（1）若D在线段AC上（如图1），求证：∠CDB=∠CDF；
（2）若D在AC延长线上（如图2），求证：∠CDB+∠CDF=180°．

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已知：如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，点E是边BC上一点，过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F，且EF=AF，以点E为圆心，EC长为半径作⊙E交BC于点D
（1）求证：斜边AB是⊙E的切线；
（2）设AB与⊙E相切的切点为G，AC=8，EF=5，连DA、DG，求AE的长．

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如图，四边形ABCD是正方形，F是BC上任意一点，AB=3，BF⊥AG，DE⊥AG，将△AFB旋转到△AF′D，AF′=AF，则FE=

 

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