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如图，AB∥CD，∠A、∠P、∠C三个角之间存在怎样的关系？

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在△ABC中，∠A=60°，∠C=75°，AB=10，D、E、F分别在AB、BC、CA上，当△DEF的周长最小值时，试确定D、E、F的位置．

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如图在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任意一点．求证：PA=PD．

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如图，已知，AC∥BD，CP⊥EP，点E在BD上，∠ACP=60°．
（1）点P是AB上一点，求∠PEB的度数；
（2）点P是AB外一点，∠CAB的角平分线与∠PED的角平分线交于点O，∠ABD度数为x，∠AOE度数为y．
①直接写出∠PEB的度数；
②用含x的式子表示y．

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如图所示，已知△ABC的三个外角都是120°，点D、E、F分别是CA、BC、AB延长线上的一点，且AD=AC，CE=CB，AB=BF，连接ED、EF、FD，
（1）试判断△DEF是什么三角形？
（2）若点O是△ABC三条中线的交点，以点O为旋转中心，则△DEF旋转多少度后能与原来的图形重合？

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如图所示，∠AOB=α，∠AOB内有一定点P，在∠AOB的两边上有两个动点Q、R（均不同与点O），△PQR周长最小时，记∠QPR的度数为β，则α与β满足的关系？

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如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，BE⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，AC=BE，FC=AB．
（1）图中有哪些线段相等？为什么？
（2）线段BD与BF有怎样的关系？
（3）求∠AFE的大小；
（4）若∠AFB=51°，求∠DFE的度数．

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如图：△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交∠BAC的外角∠CAM于点D，求证：CE=ED；
（3）当△ABC再添加一个条件，可得AP∥BC，请写出这个条件（不必证明）．