如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=5，AC=4，求⊙O的半径r．

小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A处（如图1），为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：
第一步：小亮在测点D处用测角仪测得仰角∠ACE=β．
第二步：小红量得测点D处到树底部B的水平距离BD=a，
第三步：量出测角仪的高度CD=b．
之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如图2的条形统计图和折线统计图．
请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题：
（1）求出a、b和β的平均值；
（2）根据（1）中得到的样本平均值计算处风筝的高度AB．（参考数据：

3

≈1.732，

2

，1.414．结果精确到0.01米）．

计算：-2²-|-

3

|+（

1

3

）^-2×（π-

2

）⁰+（-1）²⁰¹⁴-

9

．

如图，直线y=-2x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．
（1）填空：点C的坐标是，点D的坐标是
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球多少个？

如图：方格纸中的每个小正方形边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
①判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
②点P₁，P₂，P₃，D，F都是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．（写出一个即可，并在图中连接相应线段，不必说明理由）

如图，菱形ABED中，BG⊥DE于G，且GE=

1

2

AE，AG交BE于F，作∠AFH=60°，FH交DE于H点．
（1）求证：△ABE是等边三角形；
（2）求证：HE+EF=AE．

已知：如图，在梯形ABCD中，DF平分∠ADC，交边BC于F，若以点D为圆心，DC长为半径作弧，交边AD于点E，联结EF、BE、EC．
（1）求证：EF=CF；
（2）若点F是BC的中点，请判断线段BE和EC的位置关系，并证明你的结论．

“数学是一种知识，更是一种过程．”同学们回忆一下，我们在研究数学知识时经常会经历这样的过程：根据给定的研究对象，构造（或研究）对象的特殊情况，再通过猜想、推理提炼对象的一般情况，最后对研究对象验证和实践的思维活动过程．
例如：比较n^r+1和（n+1）^r的大小（n≥1的整数），我们可以从分析n=1，n=2，n=3，…，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．进而应用归纳出的结论比较两个数2010²⁰¹³和2011²⁰¹⁴等数的大小．
在研究真分数

a

b

（a、b均为正数）和真分数

a+m

b+m

（m为正数）的大小时，我们可以用上面的思想和方法进行研究：
研究特殊情况：
（1）任意写一些正的真分数

1

2

、、…，给每个分数的分子和分母同加一个正数得到新分数：

1+1

2+1

、、…
提炼一般情况：
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是

a

b

（a、b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得

a+m

b+m

，则两个分数的大小关系是

a+m

b+m

a

b

．
解决问题：
（3）利用上述原理简要说明一杯糖水加上一勺糖更甜的理由．．

如图，在平面直角坐标系中，?ABCD，顶点A（1，b），B（3，b），D（2，b+1）
（1）点C的坐标是（用b表示）；
（2）双曲线y=

k

x

过?ABCD的顶点B和D，求该双曲线的表达式；
（3）如果?ABCD与双曲线y=

4

x

（x＞0）总有公共点，求b的取值范围．