如图，E是矩形ABCD的边BC上的一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明．

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，cos∠OCA=

3

5

，将矩形OABC对折，使点A落在点C处，折痕在直线MN上．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）若反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与线段AC有公共点，直接写出k的取值范围．

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点M、N分别为AB，AC边的中点，点D为BC边的中点，动点P从点A出发，沿射线AB方向移动，作∠PDQ=90°，点Q在AC上，设AP=x，CQ=y．
（1）证明：△PDM∽△QDN；
（2）求y与x的函数关系式，并求x的取值范围；
（3）问x为何值时，△CDQ是等腰三角形？

如图，已知抛物线C₁与坐标轴的交点依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）．
（1）求抛物线C₁关于原点对称的抛物线C₂的解析式；
（2）设抛物线C₁的顶点为M，抛物线C₂与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；同时，点M，点N以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合，四点同时停止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值．
（3）在运动过程中，四边形MDNA是否能形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
（4）若P为抛物线C₁上的一个点，连接PM，PN，当S_△PMN=S_矩形MDNA时，过点P作直线PQ∥MN交轴于点Q，则点Q的坐标是多少？直接写出结果．

如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的长．

如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2

2

，点O为斜边AB的中点，点P为AB上任意一点，连接PC，以PC为直角边作等腰Rt△PCD，连接BD．
（1）求证：

PC

CD

=

CO

CB

；
（2）请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．
（3）当点P在线段AB上运动时，设AP=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°  请你在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．

如图，一个小朋友玩“滚铁环”游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环与铁钩相切，这个游戏抽象为数学问题，如图，已知铁环的半径为25cm，铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环也地面接触点为A，且sin∠MOA=

3

5

．
（1）求点M离地面AC的高度BM．
（2）设人站立点C与A点的水平距离AC=55cm，求铁环钩MF的长度．

在△ABC中，AB=AC=10，cosB=

4

5

（如图1），D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D右边），运动初始时D和B重合，运动至E和C重合时运动终止．过E作EF∥AC交AB于F，联结DF．
（1）若设BD=x，EF=y，求y关于x的函数，并求其定义域；
（2）如果△BDF为直角三角形，求△BDF的面积；
（3）如果MN过△DEF的重心，且MN∥BC分别交FD、FE于M、N（如图2）．求整个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）．

已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧

BC

的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD．
（1）试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论．
（2）当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长．