已知：∥∥∥，平行线与、与、与之间的距离分别为₁、₂、₃，且₁ =₃ = 1，₂ = 2 . 我们把四个顶点分别在、、、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.

 【探究1】 ⑴ 如图1，正方形为“格线四边形”，于点,的反向延长线交直线于点.  求正方形的边长.

 【探究2】 ⑵ 矩形为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形的宽为_____. (直接写出结果即可)

 【探究3】 ⑶ 如图2，菱形为“格线四边形”且∠=60°，△是等边三角形，                  于点， ∠=90°，直线分别交直线、于点、.   求证：.

 【拓 展】  ⑷ 如图3，∥，等边三角形的顶点、分别落在直线、上，于点，                  且=4 ，∠=90°，直线分别交直线、于点、，点、分别是线段、上的动点，且始终保持=，于点.

              猜想：在什么范围内，∥？并说明此时∥的理由.

如图，抛物线             ()位于轴上方的图象记为₁ ，它与轴交于₁ 、两点，图象₂与₁关于原点对称， ₂与轴的另一个交点为₂ ，将₁与₂同时沿轴向右平移₁₂的长度即可得₃与₄ ；再将₃与₄ 同时沿轴向右平移₁₂的长度即可得₅与₆ ； ……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象₁ ,₂  ,…… ，_n ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.

⑴ 当时，

        ① 求图象₁的顶点坐标；

        ② 点(2014 , －3)       (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象_n 的顶点_n的横坐标为201，则图象_n 对应的解析式为______ ，其自变量的取值范围为_______.

     ⑵ 设图象_m、_m+1的顶点分别为_m 、_m+1  (m为正整数),轴上一点Q的坐标为(12 ,0).试探究：当为何值时，以、_m 、_m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.

 如图，在平面直角坐标系中，⊙经过轴上一点，与y轴分别交于、两点，连接并延长分别交⊙、轴于点、，连接并延长交y轴于点，若点的坐标为(0 ,1),点的坐标为(6 ,－1).

    ⑴ 求证：

    ⑵ 判断⊙与轴的位置关系，并说明理由.

    ⑶ 求直线的解析式.

 如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2.晾衣架伸缩时，点在射线         上滑动，∠的大小也随之发生变化.已知每个菱形边长均等于20cm ,且

     =20cm .

        ⑴ 当∠=60°时，求两点间的距离；

        ⑵ 当∠由60°变为120°时，点向左移动了多少cm ?(结果精确到0.1cm)

        ⑶ 设cm ,当∠的变化范围为60°~ 120°(包括端点值)时，求的取值范围 .(结果精确到0.1cm)     (参考数据 ，可使用科学计算器)

某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.

根据以上信息解决下列问题：

⑴ 本次共随机抽查了­­­­­­­­­­­__________名学生，并补全条形统计图；

⑵ 若把每组听写正确的个数用这组数据的组中值代替，则被抽查学生听写正确的个数的平均数是多少？

⑶ 该校共有3000名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数.

     情景：

试根据图中的信息，解答下列问题：

        ⑴ 购买6根跳绳需            元，购买12根跳绳需            元.

        ⑵ 小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由.

如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与轴平行，且直线分别与反比例函数                和 的图象交于点、点.

    ⑴ 求点的坐标；

    ⑵ 若△的面积为8 ，求k的值 .     

 某同学报名参加运动会，有以下5个项目可供选择：

         径赛项目：100m ,200m ,400m(分别用A₁ 、A₂ 、A₃表示）；

         田赛项目：跳远 ，跳高（分别用B₁ 、B₂表示）.

         ⑴ 该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为             ；

         ⑵ 该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率.

 先化简： ，再任选一个你喜欢的数代入求值.

 如图，△与△关于直线对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线.