【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=，求sin2α的值．

小娟是这样给小芸讲解的：

如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°. 设∠BAC=α， 则sinα= = ．易得∠BOC=2α．设BC=x，则AB=3x，则AC=x．作CD⊥AB于D，求出CD=　　　　　（用含x的式子表示），可求得sin2α==　　　　　．

【问题解决】已知，如图2，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ = ，求sin2β的值.

如图，⊙O的半径为20，A是⊙O上一点，以OA为对角线作矩形OBAC，且OC=12. 直线BC与⊙O交于D，E两点，求CE-BD的值.

某校九年级进行集体跳绳比赛.如下图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G，绳子两端的距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G关于直线AB对称.

（1）求抛物线G的表达式并写出自变量的取值范围；

（2）如果身高为1.5米的小华站在CD之间，且距点C的水平距离为m米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m的取值范围.

如右图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若，，求⊙O的半径．

如右图，二次函数的顶点坐标为M(1，-4).

（1）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P（点P与点M不重合），使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．

（1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确的概率；

（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共100吨生活垃圾，数据统计如下表（单位：吨）：

试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少．

如下图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长.

抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；

（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．

如下图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，     △ABC的顶点均在格点上.

（1）画出将△ABC向右平移2个单位后得到的△A₁B₁C₁，再画出将△A₁B₁C₁绕点B₁按逆时针方向旋转90°后所得到的△A₂B₁C₂；

（2）求线段B₁C₁旋转到B₁C₂的过程中，点C₁所经过的路径长．

计算：．