5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=8cm，CD=6cm，BC=10cm，点P以每秒1cm的速度从点C出发沿CD向点D运动，同时点E以每秒2cm的速度从点B出发沿BC向点C运动，过点E作EF⊥AB，交AB于点F，连接PA，PE，设运动时间为t秒．（0＜t＜5）
（1）求边AB的长度；
（2）当t为何值时，PE∥AB；
（3）设四边形APEF面积为S．求S关于t的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形APEF的面积是梯形ABCD面积的$\frac{5}{9}$？若存在，求出此时点E的位置；若不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B和D（4，-$\frac{2}{3}$）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
（3）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ²（cm²）
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取$\frac{5}{4}$时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

3．定义：一条直线平分三角形的面积称这条直线为三角形的“等积线”，平分三角形的周长称这条直线为三角形的“等周线”，已知在直角坐标系中，点O为坐标原点，A（4，3），B（4，-3）．
（1）过点A是否存在直线l，既是△AOB的“等积线”又是“等周线”，请说明理由．
（2）当点P在线段OA上，点Q在线段OB上，直线PQ为△AOB的“等周线”，求|y_P-y_Q|；
（3）当点M在线段OB上，点N在线段AB上，直线MN既是△AOB的“等积线”又是“等周线”，
①求OM的长；②平面上是否还有既是△AOB的“等积线”，又是“等周线”的直线？若有，请画出所有情况的示意图．

2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E在对角线AC的垂直平分线上．连接AE，过点E作AB的平行线，交AD边于点F．动点P沿E-A-D方向移动，过点P作PE的垂线，分别与直线EF、CD交于点M、N．设动点P移动的路程为x．
（1）求线段AE的长；
（2）记△DEN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）直接写出当点P在线段AE上运动时，使得△CMN是等腰三角形的x的值．

1．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点M是边AB上任意一点（不与点A，B重合），过点M作MN∥AC交BC于点N，MP∥BC交AC于点P，连接PN．设线段AM的长为x，△MNP的面积为S．

（1）当x=1时，求△AMP的面积．
（2）求S与x的函数关系式，若S有最大值，求出这个最大值．
（3）如图②，过图①中的点C作直线EF∥AB，并将△ABC的顶点C在直线EF上移动，题中的条件除∠C=90°和AC=3变化外，其他条件不变．在运动变化过程中，S还有最大值吗？若有，请求出这个最大值．

7．如图，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=90°，在△ACE中，AC=AE，∠EAC=90°，CD，BE相交于点F．求证：
（1）DC=BE，且DC⊥BE；
（2）FA平分∠DFE．

6．已知如图边长为1cm的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点B顺时针旋转30°，则这两个正方形重叠部分的面积是$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm²．

5．把一块直角三角板DEM的直角顶点M放在等腰的直角三角板ABC的斜边AB的中点M上，ME和MD分别交边AC、BC于点P、Q，求证：MP=MQ．

4．已知，如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE=DC，EF∥AB．求证：AC=EF．

3．已知线段AB=acm，点M（不与A、B重合）为线段AB上任意一点，点E、F分别为AM、BM的中点．
试用含a的代数式表示线段EF，并说明线段EF的长与点M的位置是否有关．