10．在学习完矩形的内容后，某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点O为矩形ABCD对角线的交点．
操作发现：
如图（1）所示，点E为AD边上任意一点，连接EO并延长与BC边交于点F．
（1）小组成员甲发现“AE=CF”，请你完成证明；
（2）如图（2），连接BE、DF，小组成员乙发现“四边形BEDF的形状一定是平行四边形，当AE的长为$\frac{5}{3}$时，四边形BEDF是菱形”；
探究发现：
受前面两位组员的启发，小组成员丙与丁对图形进一步操作，将图（2）中的△ABE与△CDF分别沿BE与DF进行翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′，C′处．
（3）如图（3），连接A′D，BC′，发现“四边形BA′DC′是平行四边形”，请你证明这个结论；
（4）如图（4），连接A′C′，A′C′有最小值吗？若有，请你直接写出AE的长；若没有，请说明理由．

9．如图，一束平行太阳光照射到正方形上，若∠α=28°，则∠β=62°．

8．提出问题：
  （1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2与∠1、∠3度数之间有何等量关系？请说明你的理由．
类比探究：
  （2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的度数之间的等量关系为是∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
综合应用
  （3）如图③，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM=40°．
  （4）如图④，直线AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=55°，则∠BED=110°．

7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为（　　）

A．

40°

B．

70°

C．

80°

D．

140°

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B，D的坐标分别为（8，0），（0，4）．若反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象经过对角线OC的中点A，分别交DC边于点E，交BC边于点F．设直线EF的函数表达式为y=k₂x+b．
（1）反比例函数的表达式是y=$\frac{8}{x}$；
（2）求直线EF的函数表达式，并结合图象直接写出不等式k₂x+b$＜\frac{{k}_{1}}{x}$的解集；
（3）若点P在直线BC上，将△CEP沿着EP折叠，当点C恰好落在x轴上时，点P的坐标是（8，3$\sqrt{5}-5$）或（8，-3$\sqrt{5}$-5）．

5．如图，在△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁，当点C₁在线段CA的延长线上时，则∠CC₁A₁=60°．

4．作图题
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段a
求作：矩形ABCD，使它的对角线AC、BD相交于O点，且AC=a，∠AOB=60°．

3．如图，在长方形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=1，该长方形绕点A顺时针旋转α度得长方形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则线段BC′的长是2-$\sqrt{3}$．

2．如图△ABC中，点D为BC的中点，AB=5，AC=3，AD=2，则CD长为$\sqrt{13}$．

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB=$\sqrt{3}$，E是半圆$\widehat{AGF}$上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当$\widehat{AE}$的长度是$\frac{2}{3}$π时，四边形ABDE是菱形；
②当$\widehat{AE}$的长度是$\frac{1}{3}$π或π时，△ADE是直角三角形．