科目： 来源： 题型：解答题

15．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
（1）求证：AC=AD；
（2）点G为线段CD延长线上一点，将GC绕着点G逆时针旋转β，与射线BD交于点E．
①如图1，若β=α，DG=2AD，试判断BC与EG之间的数量关系，并证明你的结论；
②若β=2α，DG=kAD，请直接写出$\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△BCD}}$的值（用含k的代数式表示）．

科目： 来源： 题型：填空题

14．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形（阴影部分）的概率是$\frac{1}{9}$，则大、小两个正方形的边长之比是3：1．

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13．已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
（1）如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①如图2．求证：△AEF的外心P落在直线BD上
②如图3，当AE⊥CD时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，求$\frac{1}{DM}$+$\frac{1}{DN}$的值．

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10．如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，求旗杆的高度？

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8．为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了40m，此时观测气球，测得仰角为60°，如图，点A、B表示小明两次观测气球时眼睛的位置，若小明的眼睛离地面1.5m，请你帮助他计算出气球的高度．（结果保留根号）

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6．如图，弦AB与⊙O相交于A、B两点，已知⊙O的直径为10，若圆心O到AB的距离为3，那么弦AB长为8．