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19．点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．

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17．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．

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16．如下列各图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、BC、CA为边向外作半圆、正三角形、等腰直角三角形等，面积分别为S₁、S₂、S₃．

（1）在图1中，S₁、S₂、S₃有什么关系？写出关系式：S₂+S₃=S₁．
（2）探索图2、图3、图4中S₁、S₂、S₃是否有同样的规律？选一个作出证明．
（3）在图4中，若BC=4，AC=5，求S₁+S₂+S₃．

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14．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，∠AFG=90°，且FG交正方形的外角∠DCP的平分线CG于点G．
（1）求证：∠BAF=∠CFG；
（2）求证：△AEF≌△FCG；
（3）连接DE、DG，判定四边形DEFG是怎样的四边形？并说明理由．

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13．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明．

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12．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，D在劣弧AC上，∠ABD=45°．
（1）如图1，BD交AC于E，连CD，若AB=BD，求证：CD=$\sqrt{2}$DE；
（2）如图2，连AD、CD，已知tan∠CAD=$\frac{1}{5}$，求sin∠BDC．

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11．在直角三角形ABC中，∠C=90°，CA=CB=1，点P是边AC一动点，点Q在边CB的延长线上，且AP=BQ，连接PQ交线段AB于点O．
（Ⅰ）如图1，小丁过点P作PH∥CB交线段AB于H，发现△OPH≌△OQB，请证明小丁发现的结论．
（Ⅱ）如图2，过点O作OM，ON分别垂直于AC，BC于点M，N，若四边形OMCN的面积为$\frac{2}{9}$，求线段CP的长度．
（Ⅲ）如图3，点P关于直线AB的对称点为P′，连接OP′，CP′，试说明∠OP′C=45°．