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12．已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，在∠BAC所对弧AC上，任取一点D，连接AD，BD，CD．

（1）如图1，∠BAC=α，直接写出∠ADB的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，如果∠BAC=60°，求证：BD+CD=AD；
（3）如图3，如果∠BAC=120°，那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明；
（4）如果∠BAC=α，直接写出BD+CD与AD之间的数量关系．

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10．已知：如图，AD∥BC，∠ABD=∠D．求证：BD平分∠ABC．

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9．如图所示，由位似的正△A₁B₁C₁，正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃，…正△A_nB_nC_n组成的相似图形，其中第一个△A₁B₁C₁的边长为1，点O是B₁C₁中点，A₂是OA₁的中点，A₃是OA₂的中点…A_n是OA_n-1的中点，顶点B₂，B₃，…，B_n．C₂，C₃，…，C_n都在B₁C₁边上．
（1）试写出△A₁₀B₁₀C₁₀和△A₇B₇C₇的相似比和位似中心；
（2）求出第n个三角形△A_nB_nC_n（n≥2）的周长．

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7．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=3，OB=5，点D为y轴上一点，其坐标为（0，1），点P在线段AC上运动，当点P与点A重合时停止运动．
（1）点P在运动过程中，当△BDP为直角三角形时，请直接写出此时点P的坐标；
（2）当点D关于OP的对称点落在x轴上时，求点P的坐标．

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6．点I为△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于D，以D为圆心，DI为半径画弧，是否经过点B与点C？说明理由．

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4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当β=36°时，求α的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
（3）若点C平分优弧AB，且BC²=3OA²，试求α的度数．

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3．在直角三角形ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知PC⊥PF，求证：
（1）PD平分∠FPC；
（2）PE∥BC．