1．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）．射线y=kx交折线A-B-C于点P，点A关于OP的对称点为A′．
（1）当点A′恰好在CB边上时，求CA′的长及k的值；
（2）如图2，当点P在AB边上，点A′在CB上方时，连接A′O、A′P分别交CB边于点E、F．是否存在实数k使得△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（3）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有几个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围．

20．如图，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，过点B作BM⊥y于点M，OE=OA=3，OD=1，连接AE、BE、DE．已知tan∠CBE=$\frac{1}{3}$，B（1，4）．
（1）求证：△AEO∽△BEM；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

19．O是矩形ABCD边AB的中点，点E从O点出发以每秒1个单位长度向点A运动，到点A就立即返回向点B运动，到达点B时停止．同时点F以同样的速度从点O出发沿射线OB运动，随点E停止而停止．且在两点运动过程中以EF为边作等边三角形EFG．已知AB=12，AD=$4\sqrt{3}$，设点E运动的时间为t（秒）

（1）当点G在矩形的边CD上时，求t的值；
（2）设△EFG与△BCD重叠部分的面积为S，求当t≥2时，S与t的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，△EFG的边EG与DB交与点P，当t为何值时，△POB是等腰三角形？（直接写出结果）

18．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的三个顶点A（0，10），B（8，10），C（8，0），过O、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与线段AB交于点D，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

17．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-6，0），B（2，0），C（0，-6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

16．如图，△ABC与△BEF都是等边三角形，D是BC上一点，且CD=BE，求证：∠EDB=∠CAD．

15．已知：如图（1），在直角坐标系中xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上，另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．
（1）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形．则符合条件的点D的坐标是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）或（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
（2）如图（2），现有∠MCN=60°，其两边分别为OB、AB交于点M、N，连接MN，将∠MCN绕着点C旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上，是判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；如发生变化，请说明理由．
（3）在（2）中设MN=x，△MCN的面积为S，求出S关于x的函数关系．

14．如图1，在矩形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$．将射线AC绕着点A顺时针旋转α（0°＜α≤180°）得到射线AE，点M与点D关于直线AE对称．若$x=\frac{α}{15°}$，图中某点到点M的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则这个点为图1中的（　　）

A．

点A

B．

点B

C．

点C

D．

点D

13．当a＞0且x＞0时，因为${（\sqrt{x}-\frac{{\sqrt{a}}}{{\sqrt{x}}}）^2}≥0$，所以$x-2\sqrt{a}+\frac{a}{x}≥0$，从而$x+\frac{a}{x}≥2\sqrt{a}$（当$x=\sqrt{a}$时取等号）．
记函数$y=x+\frac{a}{x}（a＞0，x＞0）$，由上述结论可知：当$x=\sqrt{a}$时，该函数有最小值为$2\sqrt{a}$．
（1）已知函数y₁=x（x＞0）与函数${y_2}=\frac{8}{x}（x＞0）$，则当x=2$\sqrt{2}$时，y₁+y₂取得最小值为4$\sqrt{2}$；
（2）已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P，Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P，Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止运动．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
（2）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？如果能，求t的值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，射线DE经过C点？