4．如图，点E是边长为1的正方形ABCD的边AB上任意一点（不含A、B），过B、C、E三点的圆与BD相交于点F，与CD相交于点G，与∠ABC的外角平分线相交于点H．
（1）求证：四边形EFCH是正方形；
（2）设BE=x，△CFG的面积为y，求y与x的函数关系式，并求y的最大值．

3．对于两个已知图形G₁、G₂，在G₁上任取一点P，在G₂上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G₁、G₂的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G₁、G₂的“疏距”．
请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；
在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．
（1）线段AD和BC的“密距”是6，“疏距”是10；
（2）设直线y=$\frac{3}{4}$x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；
（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，
①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是1≤密距≤3；
②求四边形KLMN的面积的最大值．

2．等边三角形ABC中，BC=6，D、E是边BC上两点，且BD=CE=1，点P是线段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

1．已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以AB为边向外作等边三角形ABE，CE与BD相交于点F，则$\frac{OA}{OF}$的值为$\sqrt{3}$．

20．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁，如图乙所示，此时AB与CD₁相交于点O，与D₁E₁相交于点F，则线段AD₁的长度是（　　）

A．

3$\sqrt{2}$

B．

5

C．

4

D．

$\sqrt{31}$

19．已知：两个有一个公共顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，求证：BM=EM；
（2）如图2，将△ABC沿EC作轴对称变化，为如图2，且CB与CE在同一直线上，若CB=a，CE=2a，
①求证：MB∥CF；②求BM的长；
（3）如图3，当∠BCE=45°时，试探究BM与BE的关系．

18．如图，含有30°的直角三角板△ABC，∠BAC=90°，∠C=30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AMN，使得点B落在BC边上的点M处，过点N的直线l∥BC，则∠1的度数为（　　）

A．

15°

B．

30°

C．

45°

D．

60°

17．若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），都有|y₁-y₂|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．
例如：下面所表示的函数的界高为4．
（1）若函数y=kx+1（-2≤x≤1）的界高为4，求k的值；
（2）已知m＞-2，若函数y=x²（-2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；
（3）已知a＞0，函数y=x²-2ax+3a（-2≤x≤1）的界高为$\frac{25}{4}$，求a的值．

16．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=6，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE翻折后，点A落在CE的中点A′处，则折痕DE的长为（　　）

A．

1

B．

6

C．

4

D．

2

15．若代数式2x²+3x-3的值为11，则代数式6x²+9x+2013的值为（　　）

A．

2002

B．

2013

C．

2024

D．

2055