13．在△ABC中，BC=8，高AH为4，△DEF在△ABC内，三个顶点D、E、F分别在BC、AB和AC上，且点D与点A在直线EF的异侧，我们称△DEF为△ABC的内接三角形．
（1）如图1，当△DEF∽△ABC，且EF=3时，求△DEF的面积；
（2）如图2，在△ABC的内接△DEF中，DE=DF，∠EDF=90°，且EF∥BC，EF与AH交于G点，求△DEF的面积；
（3）如图3，在△ABC的内接三角形DEF中，DE=DF，且EF∥BC，EF与AH交于G点，求等腰△DEF面积的最大值．

12．如图1，在正方形ABCD中，AB=1，点E在AB延长线上，联结CE、DE，DE交边BC于点F，设BE=x，CF=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）如图2，对角线AC、BD的交点记作O，直线OF交线段CE于点G，求证：∠CEB=∠COG；
（3）在（2）的条件下，当OG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，求x的值．

11．如图（1），在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，正方形DEFG的顶点D、E在斜边AB上，点G、F分别在直角边AC、BC上，我们称正方形DEFG内接于△ABC．如果设正方形的边长为x，通过计算易得边长x的值为$\frac{60}{37}$．
探究与计算：
（1）如图（2），若三角形内有竖立排列的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为$\frac{30}{31}$；
（2）如图（3），若三角形内有竖立排列的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为$\frac{20}{29}$．
猜想与证明：如图（4），若三角形内有竖立排列的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．

10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BC=12cm，AD=6cm．
（1）△ABC的面积等于36cm²；
（2）点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线L从底边BC出发，以每秒1cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线L同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
①如图1，当P点与D点重合时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为正方形；
②在整个运动过程中，求△PEF的面积的最大值；
③当t为何值时，使△PEF为直角三角形？

9．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．
（1）若BK=KC，求$\frac{CD}{AB}$的值．
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=$\frac{1}{2}$AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明；
（3）再探究：当AE=$\frac{1}{n}$AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

8．【问题情境】如图①，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．
【问题探究】
（1）在旋转过程中，
①如图2，当AD=BD时，线段DP、DQ的数量关系是（　　）
A、DP＜DQ       B、DP=DQ      C、DP＞DQ      D、无法确定
②如图3，当AD=2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．
③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD=nBD时，DP、DQ满足的数量关系为DP=nDQ（直接写出结论，不必证明）
（2）当AD=BD时，若AB=20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．

7．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P、Q分别从点A、点B同时出发，相向而行，速度都为1cm/s．以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设运动时间为t（0≤t≤2，单位：s），正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面积为S（cm²）．
（1）当t=1s时，点P与点Q重合．
（2）当t=$\frac{4}{5}$s时，点D在QF上．
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数表达式．

6．如图，在△ABC中，己知AB=AC=5，BC=6，且将△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当点E运动到什么位置时，线段AM最短？并求出此时AM的值．（直接写出答案）

5．如图，有一边长为5的正方形ABCD和一等腰△PQR，PQ=PR=5，QR=8，点B、Q、C、R在同一直线l上，当Q、C两点重合时，等腰△PQR以每秒1cm的速度沿直线l按箭头所示的方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD和等腰△PQR重叠部分的面积为S．
（1）当t=3秒时，PQ与CD相交于点F，点E为QR的中点，连结PE，求证：△QCF∽△QEP．
（2）当t=5秒时，求S的值．
（3）当8≤t＜9时，求S关于t的函数表达式．
（4）当9≤t≤13时，求S关于t的函数表达式．

4．如图所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，△QAP的面积为8cm²？
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？