如图，，两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点，连接，，分别延长到点，，使，，测得，则，间的距离为 ．

如图，依据尺规作图的痕迹，计算 ­°．

对于实数，，我们用符号表示，两数中较小的数，如，因此 ；若，则 ．

在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，，如图所示．设点，，所对应数的和是．

(1)若以为原点，写出点，所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？

(2)若原点在图中数轴上点的右边，且，求．

编号为号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分．如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图，之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为．

(1)求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；

(2)在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于的学生的概率；

(3)最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次．这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．

发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．

验证 (1)的结果是5的几倍？

(2)设五个连续整数的中间一个为，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．

延伸 任意三个连续整数的平方和被3整除余数是几呢？请写出理由.

如图，，为中点，点在线段上(不与点，重合)，将绕点逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点，，且点，在异侧，连接．

(1)求证：；

(2)当时，求的长(结果保留)；

(3)若的外心在扇形的内部，求的取值范围．

如图，直角坐标系中，，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点，．点，关于轴对称，连接．

(1)求点，的坐标及直线的解析式；

(2)设面积的和，求的值；

(3)在求(2)中时，嘉琪有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现，请通过计算解释他的想法错在哪里．

平面内，如图，在中，，，．点为边上任意一点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段．

(1)当时，求的大小；

(2)当时，求点与点间的距离(结果保留根号)；

(3)若点恰好落在的边所在的直线上，直接写出旋转到所扫过的面积(结果保留)．

某厂按用户的月需求量(件)完成一种产品的生产，其中．每件的售价为18万元，每件的成本(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量(件)成反比．经市场调研发现，月需求量与月份(为整数，)符合关系式(为常数)，且得到了表中的数据．

(1)求与满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；

(2)求，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

(3)在这一年12个月中，若第个月和第个月的利润相差最大，求．