某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务.若设原计划每天植树棵，则根据题意可列方程为 ．

在矩形纸片中，是边上的点，将纸片沿折叠，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为___________．

如图，点在直线上，过点作交直线于点，为边在外侧作等边三角形，再过点作，分别交直线和于两点，以为边在外侧作等边三角形按此规律进行下去，则第个等边三角形的面积为__________.（用含的代数式表示）

先化简，再求值：，其中.

如图，有四张背面完全相同的纸牌，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀.

（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用表示）.

某中学开展“汉字听写大赛”活动，为了解学生的参与情况，在该校随机抽取了四个班级学生进行调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）这四个班参与大赛的学生共__________人；

（2）请你补全两幅统计图；

（3）求图1中甲班所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若四个班级的学生总数是160人，全校共2000人，请你估计全校的学生中参与这次活动的大约有多少人.

如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点 处测得码头 的船的东北方向，航行40分钟后到达处，这时码头恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头的最近距离.（结果精确的0．1海里，参考数据 ）

如图，点在以为直径的上，点是的中点，过点作垂直于，交的延长线于点，连接交于点.

（1）求证：是的切线；

（2）若，求的长.

夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元.

（1）设第天生产空调台，直接写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.

（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第天的利润为元，试求与之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少.

在四边形中，点为边上的一点，点为对角线上的一点，且.

（1）若四边形为正方形.

①如图1，请直接写出与的数量关系___________；

②将绕点逆时针旋转到图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，请在图3中画出草图，并直接写出与的数量关系.