二、函数的定义域、值域及单调性

【例2】 (1)已知f(x)的定义域为［1，2)，求函数f(x²)的定义域;

(2)已知f(x+1)的定义域为［0，1］，求函数f(x)的定义域.

解:(1)由f(x)的定义域为［1，2)，

可知f(x²)中自变量x²也应在［1，2)中，

故1≤x²<2,∴-<x≤-1或1≤x<，

即f(x²)的定义域为(-，-1］∪［1, ).

(2)已知f(x)的定义域为［0，1］，即0≤x≤1，

则1≤x+1≤2,∴f(x)的定义域为［1，2］.

【例3】 设函数f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在［0，+∞)上为单调函数.

解:任取x₁、x₂∈［0,+∞)且x₁<x₂,则

f(x₁)-f(x₂)= --a(x₁-x₂)

=-a(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(-a).

(1)当a≥1时,∵<1,

又∵x₁-x₂<0,

∴f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂).

∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，+∞)上为减函数.

(2)当0<a<1时，在区间［0，+∞)上存在x₁=0,x₂=,满足f(x₁)=f(x₂)=1,

∴0<a<1时，f(x)在［０,+∞)上不是单调函数.

评注: ①判断单调性常规思路为定义法;②变形过程中<1利用了>|x₁|≥x₁, >x₂这个结论;③从a的范围看还需讨论0<a<1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现.