某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax²+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax²+2x+3的顶点的横坐标减少

1

a

，纵坐标增加

1

a

，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加

1

a

，纵坐标增加

1

a

，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax²+2x+3上．
（1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3的顶点所在直线的解析式；
（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；
（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般-一特殊-一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．

已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2，-3），且图象过点（-3，-2）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和．

已知二次函数的图象经过M（-1，0），N（4，0）和P（1，-12）三点，求这个二次函数的解析式．

（1）当k为何值时，一次函数y=x-3的图象与二次函数y=x²-8x-（2k+1）的图象有两个交点；
（2）试写出k的一个数值，使这两个函数图象的交点的横坐标一个大于1，一个小于1．

我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=-

1

50

（x-30）²+10万元．为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元．若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通．公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=-

49

50

（50-x）²+

194

5

（50-x）+308万元．
（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点（-1，10）和（2，7），3a+2b=0，则该抛物线的解析式为______．

已知抛物线y=

1

2

x²-x+k与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点E的坐标．

已知二次函数y₁=x²-（k+2）x+2，y₂=x²-kx-2k+2，
（1）若二次函数y₁=x²-（k+2）x+2与y轴的交点为A，与x轴的交点为B、C，△ABC的面积S=2

2

，求y₁的解析式．
（2）不论k为何值时，二次函数y₂=x²-kx-2k+2的图象都过定点，求这个定点坐标；若经过定点和原点的直线与y₂中某个二次函数图象相切时，求这个二次函数y₂的解析式．
（3）若二次函数y₁=x²-（k+2）x+2与x轴的交点为（x₁，0）、（x₂，0），且x₁＜x₂，二次函数y₂=x²-kx-2k+2与x轴的交点为（x₃，O）、（x₄，0），且x₃＜x₄，当这四个交点相间排列（即x₁＜x₃＜x₂＜x₄或x₃＜x₁＜x₄＜x₂）时，求k的取值范围．

二次函数y=-ax²的图象经过点（1，-2），则这个函数的解析式为______．

已知二次函数y=ax²-4a图象的顶点坐标为（0，4）矩形ABCD在抛物线与x轴围成的图形内，顶点B、C在x轴上，顶点A、D在抛物线上，且A在D点的右侧，
（1）求二次函数的解析式______；
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长L与自变量x的函数关系；
（3）周长为10的矩形ABCD是否存在？若存在，请求出顶点A的坐标；若不存在，请说明理由．