某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数的图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）． 
(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息；（至少写出三条）  
(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，提出问题并解答

抛物线与x轴交于A(- 2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点 C(0，-4)。
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 1，连接AC、BC，点M(m，0)在线段AB上(不与A、B重合)，过点M作MN ∥AC，交BC于点N，连接CM，设△CMN的面积为 S，求S与 m之间的函数关系式；
(3)点D(4，k)在抛物线上，点E为在x轴下方的抛物线上的一个动点，如图2所示，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由。

如图所示，已知抛物线y = ax² + bx + c(a≠0)的顶点为 Q(2，- 1)，且与y轴交于点 C(0，3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，连接AC，点P从点C出发沿抛物线向点A运动(点P与点A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点 D。
(1)求该抛物线的解析式。
(2)连接OP，设点P的坐标为 (x，y)，点P从C 向A运动的过程中，由线段CO、OP、PA、AC 围成的四边形的面积为 S，求S关于P点横坐标x的函数解析式，并求出S的最大值。
(3)在点P从C向 A运动的过程中，若∠DAP = 90°，直接写出符合条件的点 P的坐标。

我们知道二次函数的图象是抛物线，它也可以这样定义：如果一个动点M（x，y）到定A（0， ）的距离与它到定直线y= -的距离相等，那么动点M形成的图形就是抛物线(p>0)，如图。
(1)已知动点M(x，y)到定点A(0，4)的距离与到定直线y= -4的距离相等，请写出动点M形成的抛物线的解析式。
(2)若(1)中求得的抛物线与一次函数相交于B、C两点，求△OBC的面积。
(3)若点D的坐标是(1，8)，在(1)中求得的抛物线上是否存在点P，使得PA+PD最短？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

如图，已知正方形OABC的边长为 2，点D为 CO的中点，抛物线经过点A，且顶点为 D，点P为抛物线上的动点，且横坐标为 m。
(1)求该抛物线的解析式。
(2)过点P作直线EP平行于y轴，交BC所在直线于点E，连接OP，某数学小组在探究时发现：动点P到BC所在直线的距离PE始终等于OP，你认为正确吗？请说明理由。
(3)在(2)中，连接OE，当△OPE为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形时，分别求 m的取值范围。

已知直线y=x和y=-x+m，二次函数y=x²+px+q图象的顶点为M．
（1）若M恰在直线y=x与y=-x+m的交点处，试证明：无论m取何实数值，二次函数
y=x²+px十q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点．  
（2）在（1）的条件下，若直线y=-x+m过点D(0，-3)，求二次函数y=x²+px+q的表达式，
并作出其大致图象．

如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：
（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．

如图，抛物线y＝-x²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3．
(1)求抛物线所对应的函数解析式；
(2)求△ABD的面积；
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由。

如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O₁和⊙O₂相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O₁与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O₂与x轴，y轴分别切于点R，点H．
（1）求两圆的圆心O₁，O₂所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O₁，O₂之间的距离d；
（3）令四边形PO₁QO₂的面积为S₁，四边形RMO₁O₂的面积为S₂．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为
的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．