科目： 来源：安徽省中考真题 题型：解答题

如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点。
（1）求证：AE⊥DE；
（2）计算AC·AF的值。

科目： 来源：湖南省中考真题 题型：解答题

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F。

（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积。

科目： 来源：湖北省中考真题 题型：解答题

如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD=FE。
（1）请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，，求BC的长。

科目： 来源：湖北省中考真题 题型：解答题

如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC=1，BC=2。

（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y，请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切，设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出s的最大值；若不能，请你说明不能确定s的最大值的理由。

科目： 来源：湖北省中考真题 题型：单选题

科目： 来源：湖北省中考真题 题型：解答题

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＜0）。
（1）求b的值；
（2）求x₁·x₂的值；
（3）分别过M、N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论；
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由。

科目： 来源：湖北省中考真题 题型：解答题

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E。

（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=，求sin∠E。

科目： 来源：湖南省中考真题 题型：填空题

如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A=（    ）°。

科目： 来源：江苏中考真题 题型：解答题

如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°。

（1）直线BD是否与⊙O相切？为什么？
（2）连接CD，若CD=5，求AB的长。

科目： 来源：湖南省中考真题 题型：解答题

已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O₁，O₂，P是AB的中点.
（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分别取点E、F，使∠AO₁E=∠BO₂F，则有结论①△PO₁E≌△FO₂P，②四边形PO₁CO₂是菱形，请给出结论②的证明；
（2）如图2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；
（3）如图3，若PC是⊙O₁的切线，求证：AB²=BC²+3AC²。