科目： 来源：河北省模拟题 题型：解答题

已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E、F。

（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是______；
（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM 与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且EH：HO=2：5，则BE的长是多少？

科目： 来源：江苏模拟题 题型：解答题

已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒。
（1）填空：菱形ABCD的边长是_______、面积是______、 高BE的长是_______；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值。

科目： 来源：河北省模拟题 题型：解答题

如图，矩形ABCD中，点E为AD上一点，∠BEC=90°，AB=2，DE=1，求BC的长。

科目： 来源：模拟题 题型：解答题

将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中（如图），若斜边所在的直线为y=-2x+4，点B'是OA上的动点，折叠直角三角形纸片OAB，使折叠后点B与点B'重合，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D。
（1）若B'与点O重合，直接写出点C、D的坐标；
（2）若B'与点A重合，求点C、D的坐标；
（3）若B'D∥OB，求点C、D的坐标。

科目： 来源：河北省模拟题 题型：解答题

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以CD为直径作⊙O，交BC边于点E，连接OE，过E作EH⊥AB，垂足为H，已知⊙O与AB边相切，切点为F。

（1）求证：OE∥AB；
（2）探究线段EH与AB的数量关系，并证明你的结论；
（3）若BH=1，EC=，求⊙O的半径。

科目： 来源：河北省模拟题 题型：解答题

如图①，梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于点E。
阅读理解：
在图①中，延长梯形ABCD的两腰AD、BC交于点P，过点D作DF∥CB交AB于点F，得到图②；四边形BCDF的面积为S，△ADF的面积S₁，△PDC的面积S₂。

解决问题：（1）在图②中，若DC=2，AB=8，DE=3，则S=_______，S₁=______，S₂=______；
（2）在图②中，若AB=a，DC=b，DE=h，则=__________，并写出理由；

拓展应用：如图③，□DEFC的四个顶点在△PAB的三边上，若△PDC、△ADE、△CFB的面积分别为2、3、5，试利用（2）中的结论求△PAB的面积。

科目： 来源：河北省模拟题 题型：解答题

在图①至图③中，△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，∠MPN=90°。
（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上，且PM⊥AB， PN⊥BC（如图①）时，则PN和PM的数量关系是：PN=________PM；
（2）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上（如图②）时，求的值；
（3）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC上（如图③）时，求的值。

科目： 来源：江苏模拟题 题型：解答题

等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD=DC，AC=BD=AB。

（1）若∠ABD=α，求α的度数；
（2）求证：OB²=OD·BD

科目： 来源：模拟题 题型：解答题

已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点。

（1）如图1，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP=OQ；
（2）如图2，连结AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S，若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求AS和OS的长。

科目： 来源：河北省中考真题 题型：解答题

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E。

⑴求证：ME=MF；
⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明；
⑶如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由；
⑷根据前面的探索和图4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由。