探索、研究：下图是按照一定的规律画出的一列“树型”图，下表的n表示“树型”图的序号，a_n表示第n个“树型”图中“树枝”的个数。

图：

表：

⑴ 根据“图”、“表”可以归纳出a_n关于n的关系式为____________________。

若直线经过点、，求直线对应的函数关系式，并说明对任意的正整数n，点都在直线上。

⑵ 设直线：与x轴相交于点A，与直线相交于点M，双曲线经过点M，且与直线相交于另一点N。

① 求点N的坐标，并在如图所示的直角坐标系中画出双曲线及直线、。

② 设H为双曲线在点M、N之间的部分（不包括点M、N），P为H上一个动点，点P的横坐标为，直线MP与x轴相交于点Q，当为何值时，的面积等于的面积的2倍？又是否存在的值，使得的面积等于1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

③ 在y轴上是否存在点G，使得的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。