如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为对角线AC上一动点，PE⊥PF分别交AD、AB于E、F，求

PE

PF

的值．

（1）阅读证明
①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
②如图2，已知点P为等边△ABC外接圆的

BC

上任意一点．求证：PB+PC=PA．
（2）知识迁移
根据（1）的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在

BC

上取一点P₀，连接P₀A，P₀B，P₀C，P₀D．易知P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC的费马点P，线段的长度即为△ABC的费马距离．
（3）知识应用
已知三村庄A，B，C构成了如图4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．

如图，P是等腰△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．

（1）如图1，当∠ABC=90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；
（2）在（1）中，若PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB的大小；
（3）当∠ABC=60°时，且PA=3，PB=4，PC=5，则△APC的面积是（直接填答案）

商场某种商品平均每天可销售60件，每件盈利100元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量80件，商场日盈利可达到元（直接填答案）；
（2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到8400元？
（3）若商场日盈利a元，求a的最大值．

如图，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一动点（与A，B不重合），∠ACB的平分线交圆O于D．
（1）判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（2）若I是△ABC的内心，当点C运动时，CI、DI中是否存在长度保持不变的线段？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（-2，4），B（-4，2），C（-1，1），D（0，3），A′（2，0）为点A关于点P的中心对称点．
（1）写出对称中心P点坐标；
（2）画出四边形ABCD关于点P中心对称的四边形A′B′C′D′，B的对称点为B′，C的对称点为C′，D的对称点为D′；
（3）（2）中的线段A′B′也可以看作由线段BA平移得到，请说明线段BA平移的方式．

如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等边△ABE和等边△ACD，求证：BD=CE．

计算

8

+2

1 2

-6

1 3

．

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC．
 ①若∠A=90°，AB+CD=BC，则以AD为直径的圆与BC相切；
 ②若∠A=90°，当以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆也与AD相切；
 ③若以AD为直径的圆与BC相切，则AB+CD=BC；
 ④若以AD为直径的圆与BC相切，则以BC为直径的圆与AD相切．
以上判断正确的个数有（　　）